Calcule cada uma das integrais seguintes.
\int_{\pi / 4}^{3 \pi / 4} \sin x \cos x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{\pi/4}^{3\pi/4} \sin x \cos x \,dx.
O conteúdo envolvido é integração de funções trigonométricas. Vamos usar uma identidade trigonométrica para simplificar o integrando.

Passo 2

Aplicamos a identidade de ângulo duplo
\sin x\cos x = \tfrac12\sin(2x).
Assim a integral torna-se
\int_{\pi/4}^{3\pi/4} \sin x\cos x \,dx = \tfrac12 \int_{\pi/4}^{3\pi/4} \sin(2x)\,dx.

Passo 3

Calculamos a primitiva de \sin(2x):
\int \sin(2x)\,dx = -\tfrac12\cos(2x) + C.
Portanto
\tfrac12\int \sin(2x)\,dx = \tfrac12\Bigl(-\tfrac12\cos(2x)\Bigr) = -\tfrac14\cos(2x) + C.

Passo 4

Agora avaliamos nos limites x=\pi/4 e x=3\pi/4:
\Bigl[-\tfrac14\cos(2x)\Bigr]_{\pi/4}^{3\pi/4} = -\tfrac14\bigl(\cos(2\cdot\tfrac{3\pi}{4}) - \cos(2\cdot\tfrac{\pi}{4})\bigr).
Mas
\cos\bigl(2\cdot\tfrac{3\pi}{4}\bigr)=\cos\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=0, \quad \cos\bigl(2\cdot\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0.
Logo
-\tfrac14(0-0)=0.

Resposta

0

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