Dada a função real f(x)=\sqrt{\cos (\operatorname{sen} x)}+\operatorname{arcsen}\left(\frac{1+x^{2}}{2 x}\right), assinale a opção correta referente ao domínio de f(x).
(A) É um conjunto exatamente com 2 elementos.
(B) É um conjunto com exatamente 3 elementos.
(C) E um conjunto com exatamente 4 elementos.
(D) É um conjunto com exatamente 8 elementos.
(E) É um conjunto infinito.

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
f(x)=\sqrt{\cos(\operatorname{sen}x)} \;+\;\operatorname{arcsen}\!\Bigl(\frac{1+x^{2}}{2x}\Bigr).
Aqui vamos precisar das condições de existência de cada parcela: para \sqrt{\cos(\operatorname{sen}x)} requeremos
\cos(\operatorname{sen}x)\ge0,
e para \operatorname{arcsen}\bigl(\tfrac{1+x^2}{2x}\bigr) precisamos
-1\le \frac{1+x^2}{2x}\le1 \quad\text{e}\quad x\neq0.

Passo 2

Analisamos primeiro a raiz quadrada. Como \operatorname{sen}x varia em [-1,1], temos
\cos(\operatorname{sen}x)\ge \cos(1)>0,
pois |\operatorname{sen}x|\le1<\tfrac\pi2. Logo
\cos(\operatorname{sen}x)\ge0 \quad\text{para todo }x\in\mathbb{R},
ou seja, essa parte não restringe o domínio além de x real.

Passo 3

Agora cuidamos da parte \operatorname{arcsen}. Defina
t(x)=\frac{1+x^2}{2x},
com x\neq0. Precisamos de
-1\le t(x)\le1.
Isto equivale a
-2\le x+\frac1x\le2,
mantendo x\neq0.

Passo 4

Resolvendo para x>0:
multiplicando x+\tfrac1x\le2 por x>0
x^2+1\le2x \;\Longleftrightarrow\; (x-1)^2\le0 \;\Longrightarrow\;x=1.
A outra desigualdade x+\tfrac1x\ge-2 em x>0 é sempre verdadeira. Logo, em x>0 só vale x=1.

Passo 5

Para x<0:
multiplicando x+\tfrac1x\ge-2 por x<0 inverte a desigualdade e resulta em
x^2+1\le-2x \;\Longleftrightarrow\; (x+1)^2\le0 \;\Longrightarrow\;x=-1.
A outra desigualdade x+\tfrac1x\le2 em x<0 é sempre verdadeira. Então, em x<0 só vale x=-1.

Passo 6

Assim, a condição do \operatorname{arcsen} restringe x a
x\in\{-1,1\}.
Como a parte de raiz já permitia todo x\in\mathbb{R}, o domínio de f é exatamente \{-1,1\}, que tem dois elementos.

Resposta

(A) É um conjunto exatamente com 2 elementos.

Exercícios relacionados