Os números de Fibonacci são definidos recursivamente pela sequência Fn onde F0=0, F1=1 e para n >= 2, Fn=Fn-1+Fn-2.
Aqui, examinamos as propriedades dos números de Fibonacci.
Encontre uma fórmula fechada para a sequência de Fibonacci usando as seguintes etapas.
Usando o resultado da parte a. como motivação, procure uma solução para a equação
Fn=Fn-1+Fn-2
da forma Fn=c lambda^n. Determine quais são os dois valores de lambda que permitirão a Fn satisfazer esta equação.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar valores de λ tais que uma solução da forma Fn = c λ^n satisfaça a recorrência dos Fibonacci Fn = Fn₋₁ + Fn₋₂. O conteúdo é método de equação característica para recorrências lineares de ordem 2.

Passo 2

Assumimos uma solução trial Fn = c λ^n, em que c é constante e λ depende só de n. Essa forma nos ajuda porque potenciais soluções exponenciais transformam a recorrência em uma equação algébrica.

Passo 3

Substituindo Fn = c λ^n na recorrência Fn = Fn₋₁ + Fn₋₂, obtemos c λ^n = c λ^{n-1} + c λ^{n-2}. Como c ≠ 0, cancelamos c e dividimos por λ^{n-2}, gerando a equação característica
A equação característica fica λ^2 = λ + 1, ou seja
lambda^2 - lambda - 1 = 0

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula de Bhaskara para resolver lambda^2 - lambda - 1 = 0. Temos
lambda = 1 pm raiz(-1)^2 - 4cdot1cdot(-1)2cdot1 = 1 pm raiz52

Resposta

Os dois valores de lambda são 1 + raiz52 e 1 - raiz52.

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