Os números de Fibonacci são definidos recursivamente pela sequência
onde
e para
.
Aqui, examinamos as propriedades dos números de Fibonacci.
Encontre uma fórmula fechada para a sequência de Fibonacci usando as seguintes etapas.
Usando o resultado da parte a. como motivação, procure uma solução para a equação
da forma
. Determine quais são os dois valores de
que permitirão a
satisfazer esta equação.
Aqui, examinamos as propriedades dos números de Fibonacci.
Encontre uma fórmula fechada para a sequência de Fibonacci usando as seguintes etapas.
Usando o resultado da parte a. como motivação, procure uma solução para a equação
Passo 1
O enunciado pede para encontrar valores de λ tais que uma solução da forma Fn = c λ^n satisfaça a recorrência dos Fibonacci Fn = Fn₋₁ + Fn₋₂. O conteúdo é método de equação característica para recorrências lineares de ordem 2.
Passo 2
Assumimos uma solução trial Fn = c λ^n, em que c é constante e λ depende só de n. Essa forma nos ajuda porque potenciais soluções exponenciais transformam a recorrência em uma equação algébrica.
Passo 3
Substituindo Fn = c λ^n na recorrência Fn = Fn₋₁ + Fn₋₂, obtemos c λ^n = c λ^{n-1} + c λ^{n-2}. Como c ≠ 0, cancelamos c e dividimos por λ^{n-2}, gerando a equação característica
A equação característica fica λ^2 = λ + 1, ou seja
A equação característica fica λ^2 = λ + 1, ou seja
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula de Bhaskara para resolver
. Temos
Resposta
Os dois valores de
são
e
.