Verifique se existe lim n infty an se
an=1n 3.6 9 ldots ldots(3 n)1.4 7 cdot cdots cdot(3 n-2)
Sugestão: mostre que ( an) é decrescente e limitada inferiormente.

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
an=1n,3cdot6cdot9cdots(3n)1cdot4cdot7cdots(3n-2)
Precisamos estudar a existência de limntoinftyan mostrando que (i) (an) é decrescente e (ii) é limitada inferiormente. Esses são os requisitos para aplicar o Teorema de Convergência de Sequências Monótonas.

Passo 2

Para verificar que (an) é decrescente, calculamos a razão an+1/an. Temos
an+1an =1n+13cdot6cdots3ncdot3(n+1)1cdot4cdots(3n-2)cdot(3(n+1)-2)1n3cdot6cdots3n1cdot4cdots(3n-2) =nn+1cdot3(n+1)3n+1 =3n3n+1<1
Isso mostra que an+1 para todo n, logo a sequência é decrescente.

Passo 3

Cada termo an é definido por produto e quociente de números positivos e por 1/n, que também é positivo. Assim an>0 para todo n, o que significa que (an) é limitada inferiormente por zero.

Passo 4

Pelo Teorema de Convergência de Sequências Monótonas, uma sequência decrescente e limitada inferiormente converge. Portanto, existe limntoinftyan.

Passo 5

Para determinar o valor desse limite, podemos usar a aproximação de Gamma: escrevendo
3cdot6cdots(3n)=3^n,n!e1cdot4cdots(3n-2)=3^n,Gamma(n+tfrac13)Gamma(tfrac13),
obtém-se
$$a_n=\frac{n!,\Gamma(\tfrac13)}{n,\Gamma(n+\tfrac13)}\sim\Gamma(\tfrac13),n^{-1/3}.
$$
Como an=n!,Gamma(tfrac13)n,Gamma(n+tfrac13)simGamma(tfrac13),n^-1/3 , concluímos que n^-1/3to0.

Resposta

A sequência é decrescente e limitada inferiormente, logo converge, e seu limite é 0.

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