Verifique se existe
se
Sugestão: mostre que (
) é decrescente e limitada inferiormente.
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
Precisamos estudar a existência de
Passo 2
Para verificar que
é decrescente, calculamos a razão
. Temos
Isso mostra que
para todo
, logo a sequência é decrescente.
Passo 3
Cada termo
é definido por produto e quociente de números positivos e por
, que também é positivo. Assim
para todo
, o que significa que
é limitada inferiormente por zero.
Passo 4
Pelo Teorema de Convergência de Sequências Monótonas, uma sequência decrescente e limitada inferiormente converge. Portanto, existe
.
Passo 5
Para determinar o valor desse limite, podemos usar a aproximação de Gamma: escrevendo
obtém-se
$$a_n=\frac{n!,\Gamma(\tfrac13)}{n,\Gamma(n+\tfrac13)}\sim\Gamma(\tfrac13),n^{-1/3}.
$$
Como , concluímos que
.
Como
Resposta
A sequência é decrescente e limitada inferiormente, logo converge, e seu limite é 0.