Mostre que o conjunto das potências de 2, S=2^n mid n in Z, é enumerável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que o conjunto das potências de 2, que é S = 2^n mid n in Z, é enumerável. Isso quer dizer que a gente precisa provar que dá pra listar todos esses números de um jeito que ninguém fica de fora, usando uma sequência, tipo 1, 2, 4, 8, etc. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser enumerável e como podemos relacionar os elementos de S com os números inteiros.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um conjunto enumerável. Um conjunto é chamado de enumerável se conseguimos colocar todos os seus elementos em uma sequência, ou seja, se conseguimos associar cada elemento a um número natural (1, 2, 3, …). Por exemplo, os números naturais são enumeráveis porque já estão em ordem. Agora, Z (os inteiros) também é enumerável, mesmo tendo infinitos negativos e positivos, porque dá pra listá-los em uma sequência como 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, e assim por diante.

Passo 3

O próximo passo é ver como o conjunto S = 2^n mid n in Z se relaciona com os inteiros. Cada elemento de S é uma potência de 2 com expoente inteiro. Isso inclui números como 2^-2 = 14, 2^-1 = 12, 2^0 = 1, 2^1 = 2, 2^2 = 4, e assim por diante.

Passo 4

Agora, vamos construir uma correspondência entre os inteiros e os elementos de S. Definimos uma função f: Z to S onde cada inteiro n é mapeado para 2^n. Ou seja:
  • f(0) = 2^0 = 1
  • f(1) = 2^1 = 2
  • f(-1) = 2^-1 = 12
  • f(2) = 2^2 = 4
  • f(-2) = 2^-2 = 14
  • E assim por diante.

Passo 5

Essa função f é bijeção, ou seja, é injetora (elementos diferentes de Z mapeiam para elementos diferentes de S) e sobrejetora (todo elemento de S é alcançado por algum inteiro n). Isso porque cada potência de 2 com expoente inteiro é única e cada elemento de S pode ser escrito como 2^n para algum integer n.

Passo 6

Como existe uma bijeção entre Z e S, e sabemos que Z é um conjunto enumerável, concluímos que S também é enumerável. Ou seja, dá pra listar todas as potências de 2 sem deixar nenhuma de fora, seguindo a sequência dos inteiros.

Resposta

O conjunto das potências de 2, S = 2^n mid n in Z, é enumerável.

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