Mostre que o conjunto S=ln (n) mid n in N, é enumerável.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto S = {ln(n) | n ∈ ℕ} é enumerável. Isso cai na matéria de teoria de conjuntos e contagem de cardinalidade: um conjunto é enumerável (ou numerável) se existe uma bijeção entre ele e ℕ. Para resolver, vamos usar essa definição e construir explicitamente a bijeção.

Passo 2

Vamos definir a função f de ℕ em S dada por
fcolon N to S, f(n)=ln(n)
Por construção, para todo n ∈ ℕ temos f(n)=ln(n) ∈ S, então f é sobrejetora.

Passo 3

Agora precisamos mostrar que f é injetora. Suponha que para n₁,n₂ ∈ ℕ valha
f(n₁)=f(n₂)
Isso significa
ln(n₁)=ln(n₂)
Como a função ln é estritamente crescente em ℝ⁺, podemos aplicar a exponencial de ambos os lados e obter n₁=n₂. Logo, f é injetora.

Passo 4

Como f é injetora e sobrejetora, ela é bijetora. Portanto existe uma correspondência biunívoca entre ℕ e S, provando que S é enumerável.

Resposta

O conjunto S é enumerável porque existe a bijeção f: ℕ → S definida por f(n)=ln(n).

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