Mostre que o conjunto
, é enumerável.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto S = {ln(n) | n ∈ ℕ} é enumerável. Isso cai na matéria de teoria de conjuntos e contagem de cardinalidade: um conjunto é enumerável (ou numerável) se existe uma bijeção entre ele e ℕ. Para resolver, vamos usar essa definição e construir explicitamente a bijeção.
Passo 2
Vamos definir a função f de ℕ em S dada por
Por construção, para todo n ∈ ℕ temos f(n)=ln(n) ∈ S, então f é sobrejetora.
Passo 3
Agora precisamos mostrar que f é injetora. Suponha que para n₁,n₂ ∈ ℕ valha
Isso significa
Como a função ln é estritamente crescente em ℝ⁺, podemos aplicar a exponencial de ambos os lados e obter n₁=n₂. Logo, f é injetora.
Passo 4
Como f é injetora e sobrejetora, ela é bijetora. Portanto existe uma correspondência biunívoca entre ℕ e S, provando que S é enumerável.
Resposta
O conjunto S é enumerável porque existe a bijeção f: ℕ → S definida por f(n)=ln(n).