Uma nuvem de elétrons está confinada na região formada entre duas esferas de raios
e
. Esta nuvem de elétrons possui uma densidade de carga igual a (
. Determine a carga total contida nessa região.
Passo 1
O enunciado pede a carga total
de uma distribuição volumétrica de elétrons entre duas superfícies esféricas concêntricas de raios
com densidade de carga
onde
é o ângulo polar em coordenadas esféricas. Para resolver, vamos:
- escrever
em coordenadas esféricas; - calcular a integral angular em
e ; - calcular a integral radial de
a ; - converter
de centímetros para metros.
Passo 2
Em coordenadas esféricas temos
e
varia de
a
. Logo
Simplificando o integrando em
:
Como o fator em
é constante,
Passo 3
Calculemos primeiro a integral em
:
Faça
,
. Quando
,
; quando
,
. Portanto
Assim
Passo 4
Agora a integral radial:
Substituindo,
Convertendo
e
de centímetros para metros:
Logo
Isto é
Passo 5
Combinar frações internas:
Portanto