Uma nuvem de elétrons está confinada na região formada entre duas esferas de raios (2+N) \mathrm{cm} e (5+N) \mathrm{cm}. Esta nuvem de elétrons possui uma densidade de carga igual a ( \left.3 \times 10^{-8} \cos ^{2} \varphi\right) / \mathrm{r}^{4}\left(\mathrm{C} / \mathrm{m}^{3}\right). Determine a carga total contida nessa região.

Passo 1

O enunciado pede a carga total Q de uma distribuição volumétrica de elétrons entre duas superfícies esféricas concêntricas de raios
r_1 = (2+N)\,\text{cm},\quad r_2 = (5+N)\,\text{cm},
com densidade de carga
\rho(r,\varphi) = \frac{3\times10^{-8}\,\cos^2\!\varphi}{r^4}\quad(\text{C}/\text{m}^3),
onde \varphi é o ângulo polar em coordenadas esféricas. Para resolver, vamos:
  1. escrever Q=\displaystyle\iiint \rho\,dV em coordenadas esféricas;
  2. calcular a integral angular em \varphi e \theta;
  3. calcular a integral radial de r_1 a r_2;
  4. converter r_1,r_2 de centímetros para metros.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos
dV = r^2\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta,
e \theta varia de 0 a 2\pi. Logo
Q = \int_{r_1}^{r_2}\!\!\int_{0}^{\pi}\!\!\int_{0}^{2\pi} \frac{3\times10^{-8}\cos^2\!\varphi}{r^4}\;r^2\sin\varphi\,d\theta\,d\varphi\,dr.
Simplificando o integrando em r:
\frac{3\times10^{-8}\,r^2}{r^4} = \frac{3\times10^{-8}}{r^2}.
Como o fator em \theta é constante,
Q = 3\times10^{-8}\,2\pi \int_{r_1}^{r_2}\frac{1}{r^2}\,dr \int_{0}^{\pi}\cos^2\!\varphi\,\sin\varphi\,d\varphi.

Passo 3

Calculemos primeiro a integral em \varphi:
I_\varphi = \int_{0}^{\pi}\cos^2\!\varphi\,\sin\varphi\,d\varphi.
Faça u=\cos\varphi, du=-\sin\varphi\,d\varphi. Quando \varphi=0, u=1; quando \varphi=\pi, u=-1. Portanto
I_\varphi = \int_{u=1}^{u=-1}u^2(-du) = \int_{-1}^{1}u^2\,du = \left[\frac{u^3}{3}\right]_{-1}^{1} = \frac{1^3-(-1)^3}{3} = \frac{2}{3}.
Assim
Q = 3\times10^{-8}\,2\pi\;\frac{2}{3} \int_{r_1}^{r_2}\frac{1}{r^2}\,dr = 4\pi\times10^{-8} \int_{r_1}^{r_2}\frac{1}{r^2}\,dr.

Passo 4

Agora a integral radial:
\int_{r_1}^{r_2}\frac{1}{r^2}\,dr = \left[-\frac{1}{r}\right]_{r_1}^{r_2} = -\frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_1} = \frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}.
Substituindo,
Q = 4\pi\times10^{-8}\Bigl(\tfrac{1}{r_1}-\tfrac{1}{r_2}\Bigr).
Convertendo r_1 e r_2 de centímetros para metros:
r_1 = (2+N)\times10^{-2}\text{ m},\quad r_2 = (5+N)\times10^{-2}\text{ m}.
Logo
Q = 4\pi\times10^{-8} \Bigl(\tfrac{1}{(2+N)10^{-2}}-\tfrac{1}{(5+N)10^{-2}}\Bigr) =4\pi\times10^{-8}\times10^2 \Bigl(\tfrac{1}{2+N}-\tfrac{1}{5+N}\Bigr).
Isto é
Q =4\pi\times10^{-6} \Bigl(\tfrac{1}{2+N}-\tfrac{1}{5+N}\Bigr).

Passo 5

Combinar frações internas:
\tfrac{1}{2+N}-\tfrac{1}{5+N} = \frac{(5+N)-(2+N)}{(2+N)(5+N)} = \frac{3}{(2+N)(5+N)}.
Portanto
Q = 4\pi\times10^{-6}\times\frac{3}{(2+N)(5+N)} = \frac{12\pi\times10^{-6}}{(2+N)(5+N)}\;\text{C}.

Resposta

Q = \frac{12\pi\times10^{-6}}{(2+N)\,(5+N)}\;\text{C}.

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