Obetenha a solução geral das equações abaixo usando o método de variação dos parâmetros:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=e^{x} \ln x

Passo 1

O enunciado pede: obter a solução geral da equação diferencial
y''-2y'+y=e^{x}\ln x.
Informações dadas:
  • É uma equação linear de segunda ordem, com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo é e^{x}\ln x.
  • Não foi dada condição inicial, então queremos a solução geral (com constantes arbitrárias).
  • Observação importante: o termo \ln x exige que só façamos sentido para x>0. Portanto a solução particular será válida em x>0.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
y''-2y'+y=0.
Para isso usamos a equação característica. Explico: para uma equação linear com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo obtemos a equação polinomial em r (a equação característica):
r^{2}-2r+1=0.
Essa é uma quadrática; resolvendo:
r^{2}-2r+1=(r-1)^{2}=0\quad\Rightarrow\quad r=1\text{ (dupla)}.
Quando a raiz r=1 tem multiplicidade 2, as duas soluções independentes da homogênea são
y_{1}(x)=e^{x},\qquad y_{2}(x)=x e^{x}.
Então a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}x e^{x},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora aplicamos o método de variação dos parâmetros para achar uma solução particular y_{p} da equação completa. Vou explicar a fórmula usada e o porquê.
Método (resumo): se y_{1},y_{2} são duas soluções independentes da homogênea, então uma solução particular pode ser procurada na forma
y_{p}=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x),
onde u_{1},u_{2} são funções a determinar. Impomos a condição auxiliar
u_{1}'y_{1}+u_{2}'y_{2}=0
e usamos a equação original para obter
u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'=f(x),
onde f(x) é o termo não-homogêneo do lado direito dividido pelo coeficiente do y'' (aqui é 1), portanto f(x)=e^{x}\ln x.
Essas duas equações formam um sistema linear para u_{1}' e u_{2}'. A solução pode ser escrita usando o Wronskiano
W(x)=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\\ y_{1}' & y_{2}'\end{vmatrix}.
As fórmulas compactas (que eu vou usar) são:
u_{1}'(x)=-\frac{y_{2}(x)\,f(x)}{W(x)},\qquad u_{2}'(x)=\frac{y_{1}(x)\,f(x)}{W(x)}.
Depois integra-se para obter u_{1},u_{2} e, enfim, y_{p}.

Passo 4

Calculemos o Wronskiano com y_{1}=e^{x} e y_{2}=x e^{x}.
Primeiro derivadas:
y_{1}'=e^{x},\qquad y_{2}'=e^{x}+x e^{x}=e^{x}(1+x).
Então
W(x)=\begin{vmatrix} e^{x} & x e^{x} \\\ e^{x} & e^{x}(1+x)\end{vmatrix} = e^{x}\cdot e^{x}(1+x)-x e^{x}\cdot e^{x} = e^{2x}(1+x-x)=e^{2x}.

Passo 5

Agora calculamos u_{1}' e u_{2}'. Lembrando f(x)=e^{x}\ln x:
u_{1}'(x)=-\frac{y_{2}f}{W}=-\frac{x e^{x}\cdot e^{x}\ln x}{e^{2x}}=-x\ln x,
u_{2}'(x)=\frac{y_{1}f}{W}=\frac{e^{x}\cdot e^{x}\ln x}{e^{2x}}=\ln x.
Portanto precisamos integrar u_{1}' e u_{2}':
u_{1}(x)=-\int x\ln x\,dx,\qquad u_{2}(x)=\int \ln x\,dx.

Passo 6

Calculamos as integrais passo a passo (explico a técnica: integração por partes).
  1. Integral \displaystyle \int \ln x\,dx.
Regra: tomar u=\ln x e dv=dx. Então du=\dfrac{1}{x}dx e v=x. Pela fórmula de integração por partes \int u\,dv=uv-\int v\,du,
\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x + C.
Tomamos a antiderivada sem constante particular (constantes podem ser absorvidas mais tarde nas C_1,C_2 da homogênea).
  1. Integral \displaystyle \int x\ln x\,dx.
Usamos integração por partes: escolha u=\ln x (então du=\frac{1}{x}dx) e dv=x dx (então v=\dfrac{x^{2}}{2}). Assim
\int x\ln x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln x - \int \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{x}dx = \frac{x^{2}}{2}\ln x - \int \frac{x}{2}dx = \frac{x^{2}}{2}\ln x - \frac{x^{2}}{4} + C.
Logo, retirando as constantes de integração (serão incorporadas na solução homogênea),
u_{1}(x)=-\left(\frac{x^{2}}{2}\ln x - \frac{x^{2}}{4}\right)=-\frac{x^{2}}{2}\ln x+\frac{x^{2}}{4},
u_{2}(x)=x\ln x - x.

Passo 7

Agora montamos y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}. Substituindo:
y_{p}(x)=\left(-\frac{x^{2}}{2}\ln x+\frac{x^{2}}{4}\right)e^{x}+\left(x\ln x - x\right)\cdot x e^{x}.
Vamos simplificar termo a termo. Primeiro o segundo produto:
\left(x\ln x - x\right)\cdot x e^{x}=x^{2}e^{x}\ln x - x^{2}e^{x}.
Somando com o primeiro produto:
y_{p}(x)=-\frac{x^{2}}{2}e^{x}\ln x+\frac{x^{2}}{4}e^{x}+x^{2}e^{x}\ln x - x^{2}e^{x}.
Agrupando os termos em \ln x e os termos sem \ln x:
\text{coeficiente de }e^{x}\ln x: -\frac{1}{2}x^{2}+x^{2}=\frac{1}{2}x^{2},
\text{coeficiente de }e^{x}: \frac{1}{4}x^{2}-x^{2}=-\frac{3}{4}x^{2}.
Assim
y_{p}(x)=\frac{1}{2}x^{2}e^{x}\ln x - \frac{3}{4}x^{2}e^{x}.

Passo 8

A solução geral da equação é a soma da solução homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}x e^{x}+\frac{1}{2}x^{2}e^{x}\ln x - \frac{3}{4}x^{2}e^{x},
válida para x>0. (As constantes C_{1},C_{2} são arbitrárias.)

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}x e^{x}+\dfrac{1}{2}x^{2}e^{x}\ln x-\dfrac{3}{4}x^{2}e^{x}

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