Obetenha a solução geral das equações abaixo usando o método de variação dos parâmetros: y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=e^{x} \ln x
Passo 1
O enunciado pede: obter a solução geral da equação diferencial
y''-2y'+y=e^{x}\ln x.
Informações dadas:
É uma equação linear de segunda ordem, com coeficientes constantes.
O termo não-homogêneo é e^{x}\ln x.
Não foi dada condição inicial, então queremos a solução geral (com constantes arbitrárias).
Observação importante: o termo \ln x exige que só façamos sentido para x>0. Portanto a solução particular será válida em x>0.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
y''-2y'+y=0.
Para isso usamos a equação característica. Explico: para uma equação linear com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo obtemos a equação polinomial em r (a equação característica):
Quando a raiz r=1 tem multiplicidade 2, as duas soluções independentes da homogênea são
y_{1}(x)=e^{x},\qquad y_{2}(x)=x e^{x}.
Então a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}x e^{x},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora aplicamos o método de variação dos parâmetros para achar uma solução particular y_{p} da equação completa. Vou explicar a fórmula usada e o porquê.
Método (resumo): se y_{1},y_{2} são duas soluções independentes da homogênea, então uma solução particular pode ser procurada na forma
y_{p}=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x),
onde u_{1},u_{2} são funções a determinar. Impomos a condição auxiliar
u_{1}'y_{1}+u_{2}'y_{2}=0
e usamos a equação original para obter
u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'=f(x),
onde f(x) é o termo não-homogêneo do lado direito dividido pelo coeficiente do y'' (aqui é 1), portanto f(x)=e^{x}\ln x.
Essas duas equações formam um sistema linear para u_{1}' e u_{2}'. A solução pode ser escrita usando o Wronskiano