Resolva as seguintes EDOLH’s de coeficientes constantes:
\frac{d^{4} y}{d x^{4}}-5 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+4 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária linear homogênea de ordem quatro com coeficientes constantes
\frac{d^{4} y}{d x^{4}}-5 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+4 y=0.
Informações dadas:
  • Trata-se de uma equação homogênea e com coeficientes constantes.
  • A ordem é 4 (derivada até a quarta).
  • O objetivo é encontrar a solução geral y(x), que contém quatro constantes arbitrárias.

Passo 2

Ideia de solução (método passo a passo, explicado): tentar uma solução do tipo exponencial \,y(x)=e^{r x}\,. Por que isso funciona? Porque derivadas de e^{r x} trazem apenas fatores r:
\frac{d y}{d x}=r e^{r x},\qquad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=r^{2} e^{r x},\qquad \frac{d^{4} y}{d x^{4}}=r^{4} e^{r x}.
Substituindo na equação diferencial, como e^{r x} nunca é zero, obtemos uma equação algébrica (a chamada equação característica) para r:
r^{4}-5r^{2}+4=0.

Passo 3

Resolver a equação característica. Observe que ela é um polinômio em r^{2}. Faça a substituição \,s=r^{2}\,. Então:
s^{2}-5s+4=0.
Resolver essa quadrática: o discriminante é
\Delta=(-5)^{2}-4\cdot1\cdot4=25-16=9.
Logo as raízes são
s=\frac{5\pm\sqrt{9}}{2}=\frac{5\pm3}{2}.
Portanto
s_{1}=4,\qquad s_{2}=1.
Voltando a r: de r^{2}=4 obtemos r=\pm 2; de r^{2}=1 obtemos r=\pm 1. Logo as quatro raízes são
r_{1}=2,\quad r_{2}=-2,\quad r_{3}=1,\quad r_{4}=-1,
todas distintas (simples).

Passo 4

Construir a solução geral a partir das raízes simples reais: quando a equação característica tem raízes distintas r_i, cada e^{r_i x} é solução e a solução geral é combinação linear dessas exponenciais. Assim
y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-2x}+C_{3}e^{x}+C_{4}e^{-x},
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes arbitrárias (determindas por condições iniciais, se houver).

Passo 5

Observação alternativa (útil em prova): pode-se fatorar a característica como
r^{4}-5r^{2}+4=(r^{2}-4)(r^{2}-1)=(r-2)(r+2)(r-1)(r+1),
o que mostra explicitamente as raízes encontradas. Outra forma de ver a equação diferencial é aplicar os operadores D=\frac{d}{dx}:
(D^{2}-4)(D^{2}-1)y=0,
o que equivale a resolver dois EDOLH de segunda ordem em sequência — uma ideia que dá o mesmo resultado.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-2x}+C_{3}e^{x}+C_{4}e^{-x}

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