Resolva as seguintes EDOLH’s de coeficientes constantes:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária linear homogênea de ordem quatro com coeficientes constantes
Informações dadas:
- Trata-se de uma equação homogênea e com coeficientes constantes.
- A ordem é
(derivada até a quarta). - O objetivo é encontrar a solução geral
, que contém quatro constantes arbitrárias.
Passo 2
Ideia de solução (método passo a passo, explicado): tentar uma solução do tipo exponencial
. Por que isso funciona? Porque derivadas de
trazem apenas fatores
:
Substituindo na equação diferencial, como
nunca é zero, obtemos uma equação algébrica (a chamada equação característica) para
:
Passo 3
Resolver a equação característica. Observe que ela é um polinômio em
. Faça a substituição
. Então:
Resolver essa quadrática: o discriminante é
Logo as raízes são
Portanto
Voltando a
: de
obtemos
; de
obtemos
. Logo as quatro raízes são
todas distintas (simples).
Passo 4
Construir a solução geral a partir das raízes simples reais: quando a equação característica tem raízes distintas
, cada
é solução e a solução geral é combinação linear dessas exponenciais. Assim
onde
são constantes arbitrárias (determindas por condições iniciais, se houver).
Passo 5
Observação alternativa (útil em prova): pode-se fatorar a característica como
o que mostra explicitamente as raízes encontradas. Outra forma de ver a equação diferencial é aplicar os operadores
:
o que equivale a resolver dois EDOLH de segunda ordem em sequência — uma ideia que dá o mesmo resultado.