Obtenha a solução geral das seguintes EDOs usando o método dos coeficientes a determinar:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial ordinária de segunda ordem
Informações dadas e o que se quer:
- A equação é linear, de coeficientes constantes, de ordem 2.
- O termo não-homogêneo (forçamento) é
. - Deve-se obter a solução geral
, que é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular da não-homogênea. - Não há condições iniciais; portanto a solução terá duas constantes arbitrárias.
Passo 2
Achemos a solução geral da equação homogênea associada:
Método (passo a passo): suponha soluções da forma
. Substituindo na homogênea dá a equação característica
Resolvendo,
Como as raízes são complexas conjugadas
, a forma real da solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes reais arbitrárias. Explicação curta:
, por isso combinações lineares de
e
formam todas as soluções reais.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa
Explicando o método dos coeficientes a determinar (didático): quando o lado direito é combinação linear de funções do tipo polinômio, exponencial, seno e cosseno, tenta-se uma combinação do mesmo tipo com coeficientes desconhecidos (constantes) e substitui-se na EDO para resolver esses coeficientes. Aqui o forçamento é
, que é combinação de
e
. Então um palpite natural é tentar
com
constantes a determinar.
Observação sobre ressonância: se a frequência do forçamento (aqui
) fosse igual à frequência associada à solução homogênea (aqui
), haveria ressonância e seria preciso multiplicar o palpite por
. Como
, não há ressonância e o palpite acima é apropriado.
Passo 4
Calculemos derivadas de
e substituamos na equação:
Primeira derivada:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Agora forme
:
Juntando termos semelhantes,
Isto é
Passo 5
Agora impomos que
seja igual ao lado direito
. Isso gera um sistema para
e
:
Igualando coeficientes de
e
obtemos:
Assim
Portanto a solução particular é
Passo 6
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea
com a particular
:
com
constantes arbitrárias. Pequenina checagem mental: substituindo essa
em
dá
, como derivamos, então está correta.