Obtenha a solução geral das seguintes EDOs usando o método dos coeficientes a determinar:
y^{\prime \prime}+y=\cos (2 x)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial ordinária de segunda ordem
y''+y=\cos(2x).
Informações dadas e o que se quer:
  • A equação é linear, de coeficientes constantes, de ordem 2.
  • O termo não-homogêneo (forçamento) é \cos(2x).
  • Deve-se obter a solução geral y(x), que é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular da não-homogênea.
  • Não há condições iniciais; portanto a solução terá duas constantes arbitrárias.

Passo 2

Achemos a solução geral da equação homogênea associada:
y''+y=0.
Método (passo a passo): suponha soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo na homogênea dá a equação característica
r^2+1=0.
Resolvendo,
r^2=-1\quad\Rightarrow\quad r=\pm i.
Como as raízes são complexas conjugadas \pm i, a forma real da solução geral da homogênea é
y_c(x)=C_1\cos x + C_2\sin x,
onde C_1 e C_2 são constantes reais arbitrárias. Explicação curta: e^{i x}=\cos x + i\sin x, por isso combinações lineares de \cos x e \sin x formam todas as soluções reais.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_p(x) da equação completa
y''+y=\cos(2x).
Explicando o método dos coeficientes a determinar (didático): quando o lado direito é combinação linear de funções do tipo polinômio, exponencial, seno e cosseno, tenta-se uma combinação do mesmo tipo com coeficientes desconhecidos (constantes) e substitui-se na EDO para resolver esses coeficientes. Aqui o forçamento é \cos(2x), que é combinação de \cos(2x) e \sin(2x). Então um palpite natural é tentar
y_p(x)=A\cos(2x)+B\sin(2x),
com A,B constantes a determinar.
Observação sobre ressonância: se a frequência do forçamento (aqui 2) fosse igual à frequência associada à solução homogênea (aqui 1), haveria ressonância e seria preciso multiplicar o palpite por x. Como 2\neq 1, não há ressonância e o palpite acima é apropriado.

Passo 4

Calculemos derivadas de y_p e substituamos na equação:
Primeira derivada:
y_p'(x) = -2A\sin(2x)+2B\cos(2x).
Segunda derivada:
y_p''(x) = -4A\cos(2x)-4B\sin(2x).
Agora forme y_p''+y_p:
y_p''+y_p = (-4A\cos(2x)-4B\sin(2x)) + (A\cos(2x)+B\sin(2x)).
Juntando termos semelhantes,
y_p''+y_p = (-4A+A)\cos(2x) + (-4B+B)\sin(2x).
Isto é
y_p''+y_p = -3A\cos(2x) -3B\sin(2x).

Passo 5

Agora impomos que y_p''+y_p seja igual ao lado direito \cos(2x). Isso gera um sistema para A e B:
-3A\cos(2x)-3B\sin(2x)=\cos(2x).
Igualando coeficientes de \cos(2x) e \sin(2x) obtemos:
-3A=1,\qquad -3B=0.
Assim
A=-\frac{1}{3},\qquad B=0.
Portanto a solução particular é
y_p(x)=-\frac{1}{3}\cos(2x).

Passo 6

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea y_c com a particular y_p:
y(x)=y_c(x)+y_p(x)=C_1\cos x + C_2\sin x -\frac{1}{3}\cos(2x),
com C_1,C_2 constantes arbitrárias. Pequenina checagem mental: substituindo essa y_p em y''+y \cos(2x), como derivamos, então está correta.

Resposta

y(x)=C_1\cos x + C_2\sin x -\frac{1}{3}\cos(2x)

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