(Com o objetivo de auxiliar os maricultores a aumentar a produção de ostras e mexilhões, um engenheiro de aquicultura fez um estudo sobre a temperatura da água em Florianópolis, na região do sul da ilha. Para isso, efetuou medições durante três dias consecutivos, em intervalos de 1 hora. As medições iniciaram às 5 horas da manhã no primeiro dia t = 0 e os dados foram representados pela função periódica:)
$$
T(t)=24+3 \cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi}{3}\right)$$
Tal modelo adotado é adequado para o estudo? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre um engenheiro que quer ajudar os maricultores a aumentar a produção de ostras e mexilhões, estudando a temperatura da água em Florianópolis. Ele fez medições por três dias seguidos, a cada hora, e criou uma função periódica para representar essas temperaturas:
T(t) = 24 + 3 cos(pi t / 6 + pi / 3)
Nosso objetivo é descobrir se esse modelo é adequado para o estudo. Vamos precisar entender um pouco de funções periódicas e como elas representam fenômenos que se repetem no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada parte dessa função representa. A função é uma função cossenoidal, que é uma forma comum de modelar fenômenos que variam de forma periódica, como as temperaturas ao longo do dia.
O número 24 representa a temperatura média ao redor da qual as variações ocorrem. O 3 é a amplitude da oscilação, ou seja, a temperatura pode subir até 24 + 3 = 27°C e descer até 24 - 3 = 21°C.

Passo 3

Agora, vamos analisar o que está dentro do cosseno: . Isso nos ajuda a entender o período da função, que é o tempo que leva para a função completar um ciclo completo de subida e descida novamente.
A fórmula do período de uma função cosseno é dada por:
Aqui, o coeficiente de é , então:
Isso significa que a temperatura completa um ciclo de variação a cada 12 horas. Considerando que o dia tem 24 horas, isso sugere que a temperatura se repete duas vezes por dia.

Passo 4

Vamos pensar se isso faz sentido para a temperatura da água. Geralmente, a temperatura da água varia ao longo do dia, ficando mais quente durante a tarde e mais fria durante a madrugada. Um ciclo de 12 horas pode capturar as variações de manhã para tarde e tarde para manhã novamente.
Além disso, a amplitude de 3°C parece razoável para as variações diárias de temperatura na água, dependendo das condições climáticas da região.

Passo 5

Agora, consideramos o deslocamento de fase . Esse termo ajusta o ponto de início do ciclo. Ou seja, a temperatura máxima ou mínima pode não ocorrer exatamente na meia-noite ou no meio-dia, mas em um horário deslocado. Isso pode refletir o comportamento real das temperaturas na água, que talvez não atinjam o pico exatamente ao meio-dia.

Resposta

Sim, o modelo adotado é adequado para o estudo, pois a função periódica representa de forma realista as variações diárias de temperatura na água, com um período de 12 horas que capta as oscilações mornas e frias, uma amplitude razoável e um deslocamento de fase que reflete ajustes no horário dos picos de temperatura.

Exercícios relacionados