Resolver as equaçōes abaixo, usando uma conveniente mudança de coordenadas:
cos(x+y) dx = x sen(x+y) dx + x sen(x+y) dy

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial que envolve as variáveis e . Para resolver isso, vamos usar uma mudança de coordenadas que vai simplificar a equação. Vamos precisar lembrar de algumas regras de álgebra e cálculo diferencial para seguir em frente.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar a visualização. Vamos trazer todos os termos para o lado esquerdo da equação:
Agora, podemos fatorar e :

Passo 3

Observando a equação, vemos que podemos simplificar usando a regra do produto. Vamos tentar reescrever a equação de uma forma que possamos identificar uma derivada total.
Perceba que:
Isso significa que a expressão pode ser escrita como a derivada de em relação a .

Passo 4

Usando essa observação, reescrevemos a equação:
Isso simplifica a equação para uma forma que podemos integrar facilmente.

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integração vai nos dar uma relação entre e .
Integrando, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Para resolver a integral , fazemos uma substituição simples. Basta reconhecer que a integral de em relação a é .
Então:

Passo 7

Substituindo de volta na equação integrada:
Agora, somamos em ambos os lados para isolar a constante:

Passo 8

Finalmente, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Onde é uma constante que depende das condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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