Resolver as equaçōes abaixo, usando uma conveniente mudança de coordenadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial que envolve as variáveis
e
. Para resolver isso, vamos usar uma mudança de coordenadas que vai simplificar a equação. Vamos precisar lembrar de algumas regras de álgebra e cálculo diferencial para seguir em frente.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar a visualização. Vamos trazer todos os termos para o lado esquerdo da equação:
Agora, podemos fatorar
e
:
Passo 3
Observando a equação, vemos que podemos simplificar usando a regra do produto. Vamos tentar reescrever a equação de uma forma que possamos identificar uma derivada total.
Perceba que:
Isso significa que a expressão pode ser escrita como a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Usando essa observação, reescrevemos a equação:
Isso simplifica a equação para uma forma que podemos integrar facilmente.
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integração vai nos dar uma relação entre
e
.
Integrando, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para resolver a integral , fazemos uma substituição simples. Basta reconhecer que a integral de em relação a
é
.
Então:
Passo 7
Substituindo de volta na equação integrada:
Agora, somamos
em ambos os lados para isolar a constante:
Passo 8
Finalmente, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Onde
é uma constante que depende das condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.