Com o objetivo de consolidar o aprendizado sobre produto vetorial, partindo de
\begin{aligned} \mathbf{A} \times \mathbf{B} & =\left(A_{x} \mathbf{i}+A_{y} \mathbf{j}+A_{z} \mathbf{k}\right) \times\left(B_{x} \mathbf{i}+B_{y} \mathbf{j}+B_{z} \mathbf{k}\right) \\\ & =A_{x} B_{x}(\mathbf{i} \times \mathbf{i})+A_{x} B_{y}(\mathbf{i} \times \mathbf{j})+A_{x} B_{z}(\mathbf{i} \times \mathbf{k}) \\\ & +A_{y} B_{x}(\mathbf{j} \times \mathbf{i})+A_{y} B_{y}(\mathbf{j} \times \mathbf{j})+A_{y} B_{z}(\mathbf{j} \times \mathbf{k}) \\\ & +A_{z} B_{x}(\mathbf{k} \times \mathbf{i})+A_{z} B_{y}(\mathbf{k} \times \mathbf{j})+A_{z} B_{z}(\mathbf{k} \times \mathbf{k}) \end{aligned}
justifique a origem do sinal negativo, que o autor Ribbeler solicita lembrar para o elemento j, a seguir:
\begin{array}{ll} \text { Para o elemento } \mathbf{i}: & \left|\begin{array}{ccc} i & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ A_{x} & A_{y} & A_{z} \\\ B_{x} & B_{y} & B_{z} \end{array}\right|=\mathbf{i}\left(A_{y} B_{z}-A_{z} B_{y}\right) \\\ \text { Para o elemento } \mathbf{j}: & \left|\begin{array}{lll} \mathbf{i} & \mathbf{k} \\\ A_{x} & A_{z} \\\ B_{x} & B_{y} & B_{z} \end{array}\right|=-\mathbf{j}\left(A_{x} B_{z}-A_{z} B_{x}\right) \\\ \text { Para o elemento } \mathbf{k}: & \left|\begin{array}{lll} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{1} \\\ A_{x} & A_{y} & A_{z} \\\ B_{x} & B_{y} & B_{z} \end{array}\right|=\mathbf{k}\left(A_{x} B_{y}-A_{y} B_{x}\right) \end{array}
Segue-se, então, que
\mathbf{A} \times \mathbf{B}=\left(A_{y} B_{z}-A_{z} B_{y}\right) \mathbf{i}-\left(A_{x} B_{z}-A_{z} B_{x}\right) \mathbf{j}+\left(A_{x} B_{y}-A_{y} B_{x}\right) \mathbf{k}
onde consta a segunda parcela negativa à direita da igualdade.

Passo 1

O enunciado pede para justificar por que, ao escrever
\mathbf{A}\times\mathbf{B} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ A_x & A_y & A_z \\\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix},
o termo correspondente ao elemento \mathbf{j} aparece com sinal negativo.

Passo 2

Para calcular essa determinante por expansão de cofatores, cada termo é multiplicado por
(-1)^{i+j},
onde i é o índice da linha e j o da coluna do elemento usado no desenvolvimento. No caso do componente em \mathbf{j}, expandimos pela primeira linha, segunda coluna (isto é, i=1, j=2).

Passo 3

Como (-1)^{1+2}=(-1)^3=-1, o menor correspondente ao \mathbf{j}, que é
\begin{vmatrix} A_x & A_z \\\ B_x & B_z \end{vmatrix} = A_xB_z - A_zB_x,
recebe esse fator -1, gerando
-\,\mathbf{j}\,(A_xB_z - A_zB_x).

Resposta

O sinal negativo no termo de \mathbf{j} surge do fator de cofactor (-1)^{1+2}=-1 na expansão do determinante 3\times 3.

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