O objetivo desse exercício é demonstrar a desigualdade de Cauchy-Schwarz: dados dois vetores u, v \in \mathbb{R}^{n}, temos que
|\langle u, v\rangle| \leq\|u\|\|v\|
com igualdade se e somente se u e \nu forem colineares (i.e.,proporcionais). (lembrar que se u=\left(u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n}\right) e v=\left(v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right), então o produto interno canônico \langle u, v\rangle de u e v e a norma \|u\| de u são respectivamente dados por \langle u, v\rangle=u_{1} v_{1}+u_{2} v_{2}+\cdots+u_{n} v_{n} e \|u\|=\sqrt{\langle u, u\rangle})
(a)Mostre que \|u+t v\|^{2}=\|u\|^{2}+2\langle u, v\rangle t+\|v\|^{2} t^{2} para todo u, v \in \mathbb{R}^{n};
(b)Mostre que se v \neq 0, o polinômio de segundo grau p(t) dado no item (a) possui no máximo uma raiz real, e que isso ocorre se e somente se u e v forem colineares.
(c)Conclua do item (b) a desigualdade de CauchySchwarz no caso v \neq 0. Por que ela permanece válida se v=0 ? Justifique.
(d)Dado \mathrm{D} \subset \mathbb{R}^{n} aberto, seja \mathrm{f}: \mathrm{D} \rightarrow \mathbb{R} diferenciável em x_{0} \in \mathrm{D}. Mostre que a direção ao longo da qual a derivada direcional de f em x_{0} é máxima é ao longo de \nabla f\left(x_{0}\right).

Passo 1

O enunciado pede para provar a desigualdade de Cauchy–Schwarz em \mathbb{R}^n
|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\|v\|
usando o polinômio p(t)=\|u+tv\|^2, e depois mostrar que, para uma função diferenciável f, a derivada direcional em x_0 atinge seu valor máximo na direção de \nabla f(x_0). Vamos usar as definições canônicas de produto interno e norma, a análise de discriminante de quadrática e, na parte (d), a fórmula
D f(x_0;d)=\langle\nabla f(x_0),d\rangle.

Passo 2

Para todo u,v\in\mathbb{R}^n e todo t\in\mathbb{R},
\|u+tv\|^2=\langle u+tv,u+tv\rangle =\langle u,u\rangle+2t\langle u,v\rangle+t^2\langle v,v\rangle.
Como \langle u,u\rangle=\|u\|^2 e \langle v,v\rangle=\|v\|^2, segue
\|u+tv\|^2=\|u\|^2+2\langle u,v\rangle\,t+\|v\|^2\,t^2.

Passo 3

Suponha v\neq0 e defina
p(t)=\|u+tv\|^2=\|v\|^2\,t^2+2\langle u,v\rangle\,t+\|u\|^2.
Como norma é não negativa, p(t)\ge0 para todo t. Se uma quadrática de coeficiente principal a=\|v\|^2>0 tivesse duas raízes reais distintas, entre elas p(t) seria negativa. Logo, o discriminante
\Delta=(2\langle u,v\rangle)^2-4\|v\|^2\|u\|^2 =4\bigl(\langle u,v\rangle^2-\|u\|^2\|v\|^2\bigr)
deve satisfazer \Delta\le0. Desse modo
\langle u,v\rangle^2\le\|u\|^2\|v\|^2.
Além disso, \Delta=0 (uma única raiz real) acontece exatamente quando p(t) tem raiz dupla, i.e.\ existe t_0 tal que u+t_0v=0, o que significa que u e v são colineares.

Passo 4

Da desigualdade anterior obtemos imediatamente
|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\|v\|.
Se v=0, então \langle u,v\rangle=0 e \|v\|=0, de modo que 0=|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\cdot0 também vale. Assim, Cauchy–Schwarz está provada em todos os casos.

Passo 5

Para a função diferenciável f\colon D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} em x_0, a derivada direcional na direção de um vetor unitário d é
D f(x_0;d)=\langle\nabla f(x_0),d\rangle.
Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz, para \|d\|=1 temos
\langle\nabla f(x_0),d\rangle\le\|\nabla f(x_0)\|\cdot\|d\| =\|\nabla f(x_0)\|.
A igualdade ocorre se, e somente se, d for colinear a \nabla f(x_0). Portanto, a derivada direcional de f em x_0 atinge seu valor máximo justamente ao longo da direção de \nabla f(x_0).

Resposta

A desigualdade de Cauchy–Schwarz
|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\|v\|
está provada, com igualdade exata somente para u e v colineares. Ademais, a derivada direcional de f em x_0 é maximizada na direção de \nabla f(x_0).

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