O objetivo desse exercício é demonstrar a desigualdade de Cauchy-Schwarz: dados dois vetores
, temos que
com igualdade se e somente se u e
forem colineares (i.e.,proporcionais). (lembrar que se
e
, então o produto interno canônico
de
e
e a norma
de
são respectivamente dados por
e
(a)Mostre que
para todo
;
(b)Mostre que se
, o polinômio de segundo grau
dado no item (a) possui no máximo uma raiz real, e que isso ocorre se e somente se u e
forem colineares.
(c)Conclua do item (b) a desigualdade de CauchySchwarz no caso
. Por que ela permanece válida se
? Justifique.
(d)Dado
aberto, seja
diferenciável em
. Mostre que a direção ao longo da qual a derivada direcional de
em
é máxima é ao longo de
.
(a)Mostre que
(b)Mostre que se
(c)Conclua do item (b) a desigualdade de CauchySchwarz no caso
(d)Dado
Passo 1
O enunciado pede para provar a desigualdade de Cauchy–Schwarz em
usando o polinômio
, e depois mostrar que, para uma função diferenciável
, a derivada direcional em
atinge seu valor máximo na direção de
. Vamos usar as definições canônicas de produto interno e norma, a análise de discriminante de quadrática e, na parte (d), a fórmula
Passo 2
Para todo
e todo
,
Como
e
, segue
Passo 3
Suponha
e defina
Como norma é não negativa,
para todo
. Se uma quadrática de coeficiente principal
tivesse duas raízes reais distintas, entre elas
seria negativa. Logo, o discriminante
deve satisfazer
. Desse modo
Além disso,
(uma única raiz real) acontece exatamente quando
tem raiz dupla, i.e.\ existe
tal que
, o que significa que
e
são colineares.
Passo 4
Da desigualdade anterior obtemos imediatamente
Se
, então
e
, de modo que
também vale. Assim, Cauchy–Schwarz está provada em todos os casos.
Passo 5
Para a função diferenciável
em
, a derivada direcional na direção de um vetor unitário
é
Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz, para
temos
A igualdade ocorre se, e somente se,
for colinear a
. Portanto, a derivada direcional de
em
atinge seu valor máximo justamente ao longo da direção de
.
Resposta
A desigualdade de Cauchy–Schwarz
está provada, com igualdade exata somente para
e
colineares. Ademais, a derivada direcional de
em
é maximizada na direção de
.