Se u e v são funções de x e y, de classe C^{2}, e satisfazem as equações de Cauchy-Riemann
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x},
mostre que u e v são harmônicas.

Passo 1

O enunciado diz que u(x,y) e v(x,y) são funções de classe C^2 que satisfazem as equações de Cauchy–Riemann
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.
Queremos mostrar que ambas são harmônicas, isto é, que satisfazem
\Delta u = u_{xx}+u_{yy}=0, \quad \Delta v = v_{xx}+v_{yy}=0.
Para isso, vamos derivar as equações de Cauchy–Riemann e usar a igualdade de derivadas mistas (teorema de Clairaut), válida pois u e v são C^2.

Passo 2

Derivamos \partial u/\partial x = \partial v/\partial y em relação a x e \partial u/\partial y = -\partial v/\partial x em relação a y:
u_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{\partial v}{\partial y}\Bigr) = v_{yx},
u_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(-\frac{\partial v}{\partial x}\Bigr) = -\,v_{xy}.
Somando essas duas iguais e usando v_{yx}=v_{xy} (Clairaut) dá
u_{xx}+u_{yy} = v_{yx} - v_{xy} = 0.
Logo \Delta u=0, ou seja, u é harmônica.

Passo 3

Para v, derivamos \partial v/\partial x = -\partial u/\partial y em relação a x e \partial v/\partial y = \partial u/\partial x em relação a y:
v_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(-u_{y}\Bigr) = -\,u_{yx},
v_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(u_{x}\Bigr) = u_{xy}.
Somando e usando u_{xy}=u_{yx} resulta
v_{xx}+v_{yy} = -\,u_{yx} + u_{xy} = 0.
Portanto \Delta v=0, e v também é harmônica.

Resposta

\displaystyle \Delta u = 0 e \displaystyle \Delta v = 0, isto é, u e v são harmônicas.

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