Se u e
são funções de
e
, de classe
, e satisfazem as equações de Cauchy-Riemann
mostre que u e v são harmônicas.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são funções de classe
que satisfazem as equações de Cauchy–Riemann
Queremos mostrar que ambas são harmônicas, isto é, que satisfazem
Para isso, vamos derivar as equações de Cauchy–Riemann e usar a igualdade de derivadas mistas (teorema de Clairaut), válida pois
e
são
.
Passo 2
Derivamos
em relação a
e
em relação a
:
Somando essas duas iguais e usando
(Clairaut) dá
Logo
, ou seja,
é harmônica.
Passo 3
Para
, derivamos
em relação a
e
em relação a
:
Somando e usando
resulta
Portanto
, e
também é harmônica.