Um campo de forças é dado por
. a) Determine
para que o campo de forças seja conservativo. b) Caso exista um
para que ele seja conservativo, encontre a função potencial
, se
.
Passo 1
O enunciado dá o campo de forças
e pede:
a) encontrar o valor de para que
seja conservativo;
b) se existir esse , achar a potencial
com
.
O conteúdo necessário é cálculo vetorial: para um campo ser conservativo basta ter , e depois integramos componentes para achar
.
a) encontrar o valor de
b) se existir esse
O conteúdo necessário é cálculo vetorial: para um campo ser conservativo basta ter
Passo 2
Escrevemos as componentes de
e igualamos a zero. A primeira condição vem de
Como
temos
Passo 3
Verificamos rapidamente as outras duas componentes do rotacional para
:
Logo para
,
e o campo é conservativo.
Passo 4
Agora achamos
tal que
Integramos em
:
Em seguida impomos
logo
e
depende só de
:
. Finalmente
deve ser igual a
logo
e
é constante. Como
, essa constante vale zero.
Resposta
com
.