Um campo de forças é dado por \vec{F}=\frac{2}{3} x y z^{3} \mathbf{i}+\frac{x^{2} z^{3}}{3} \mathbf{j}+3 b x^{2} y z^{2} \mathbf{k}. a) Determine b para que o campo de forças seja conservativo. b) Caso exista um b para que ele seja conservativo, encontre a função potencial V(x, y, z), se V(0,0,0)=0.

Passo 1

O enunciado dá o campo de forças
\vec{F}(x,y,z) = \frac{2}{3}\,x\,y\,z^{3}\,\mathbf{i} + \frac{x^{2}\,z^{3}}{3}\,\mathbf{j} +3\,b\,x^{2}\,y\,z^{2}\,\mathbf{k},
e pede:
a) encontrar o valor de b para que \vec{F} seja conservativo;
b) se existir esse b, achar a potencial V(x,y,z) com V(0,0,0)=0.
O conteúdo necessário é cálculo vetorial: para um campo ser conservativo basta ter \nabla \times \vec{F}=\vec{0}, e depois integramos componentes para achar V.

Passo 2

Escrevemos as componentes de \nabla\times\vec{F} e igualamos a zero. A primeira condição vem de
\bigl(\nabla\times\vec{F}\bigr)_{x} =\frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z}=0.
Como
\frac{\partial F_{3}}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3b\,x^{2}y\,z^{2}\bigr) =3b\,x^{2}\,z^{2}, \quad \frac{\partial F_{2}}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial z}\Bigl(\frac{x^{2}z^{3}}{3}\Bigr) =x^{2}z^{2},
temos
3b\,x^{2}z^{2}-x^{2}z^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad 3b-1=0 \quad\Longrightarrow\quad b=\frac{1}{3}.

Passo 3

Verificamos rapidamente as outras duas componentes do rotacional para b=\tfrac13:
\bigl(\nabla\times\vec{F}\bigr)_{y} =\frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x} =2x\,y\,z^{2}-2x\,y\,z^{2}=0,
\bigl(\nabla\times\vec{F}\bigr)_{z} =\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y} =\tfrac{2}{3}x\,z^{3}-\tfrac{2}{3}x\,z^{3}=0.
Logo para b=\tfrac13, \nabla\times\vec{F}=\vec{0} e o campo é conservativo.

Passo 4

Agora achamos V(x,y,z) tal que
\frac{\partial V}{\partial x} =F_{1}=\frac{2}{3}x\,y\,z^{3}.
Integramos em x:
V(x,y,z) =\int \frac{2}{3}x\,y\,z^{3}\,dx =\frac{2}{3}y\,z^{3}\cdot\frac{x^{2}}{2} =\frac{1}{3}x^{2}y\,z^{3}+g(y,z).
Em seguida impomos
\frac{\partial V}{\partial y} =\frac{x^{2}z^{3}}{3} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\tfrac{1}{3}x^{2}y\,z^{3}+g(y,z)\Bigr) =\tfrac{1}{3}x^{2}z^{3}+g_{y}(y,z) =\tfrac{1}{3}x^{2}z^{3},
logo g_{y}=0 e g depende só de z: g(y,z)=h(z). Finalmente
\frac{\partial V}{\partial z} =x^{2}y\,z^{2}+h'(z)
deve ser igual a
F_{3} =3\cdot\frac13\,x^{2}y\,z^{2} =x^{2}y\,z^{2},
logo h'(z)=0 e h é constante. Como V(0,0,0)=0, essa constante vale zero.

Resposta

b=\tfrac{1}{3}
V(x,y,z)=\frac{1}{3}\,x^{2}\,y\,z^{3},
com V(0,0,0)=0.

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