Mostre que
Se n não é múltiplo de 2 ou de 3, então n^{2}-1 é múltiplo de 24.
Passo 1
O enunciado diz: se n não é múltiplo de 2 nem de 3, então devemos mostrar que n^{2}-1 é múltiplo de 24.
O conteúdo envolve divisibilidade e aritmética modular, usando que 24=\mathrm{lcm}(8,3).
Passo 2
Como n não é múltiplo de 2, n é ímpar. Logo n=2k+1 para algum inteiro k. Temos
n-1=2k,\quad n+1=2k+2=2(k+1).
Esses dois números são pares, e como k e k+1 são consecutivos, um deles é par. Assim um dos fatores n-1 ou n+1 é divisível por 4, e o outro é divisível por 2. Portanto o produto
n^{2}-1=(n-1)(n+1)
é divisível por 2\cdot4=8. Concluímos que
8\mid(n^{2}-1).
Passo 3
Como n não é múltiplo de 3, restam as possibilidades n\equiv1\pmod3 ou n\equiv2\pmod3. Em ambos os casos
n^{2}\equiv1\pmod3
e, portanto,
n^{2}-1\equiv0\pmod3,
ou seja,
3\mid(n^{2}-1).
Passo 4
Já que 8 e 3 são primos entre si, a condição
8\mid(n^{2}-1) \quad\text{e}\quad 3\mid(n^{2}-1)
implica
24=\mathrm{lcm}(8,3)\;\bigm|(n^{2}-1).
Assim mostramos que n^{2}-1 é múltiplo de 24.
Resposta
Mostramos que 8\mid(n^{2}-1) e 3\mid(n^{2}-1), logo 24\mid(n^{2}-1).