Com o objetivo de fazer uma previdência particular uma pessoa deposita uma quantia de 100 reais por mês durante 20 anos (suponha que o depósito é feito continuamente a uma taxa de 100 reais por mês).
a) Supondo que neste período a taxa de juros seja de 1 \% ao mês (contínua), qual o valor que esta pessoa iria ter ao fim deste período.
b) Se após o período anterior esta pessoa quisesse fazer retiradas mensais, qual deveria ser o valor destas retiradas para que em 20 anos tenha desaparecido o capital, se a taxa de juros continuasse em 1 \% (contínua)?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, pegando os números do enunciado.
  • Depósito contínuo a uma taxa de 100 reais por mês (ou seja, um fluxo contínuo de caixa de c=100 \text{R\$}/mês).
  • Duração dos depósitos: 20 anos = 240 meses (ou seja, T=240 meses).
  • Taxa de juros: 1\% ao mês (contínua). Vou representar essa taxa contínua por \delta, portanto \delta=0{,}01 por mês.
  • Parte (a): calcular o valor acumulado ao final do período de 20 anos (isto é, o montante ao tempo T=240 meses).
  • Parte (b): depois desse acúmulo, a pessoa quer fazer retiradas mensais (pagamentos mensais discretos, que assumirei feitos ao final de cada mês — padrão de anuidade-imediata) durante mais 20 anos ( 240 meses), de modo que o capital fique zero ao final. Calcular o valor da retirada mensal R. A taxa continua sendo \delta=0{,}01 (juros contínuos).

Passo 2

Entendendo a modelagem (aulas rápidas e claras sobre o que usar).
  • Juros contínuos: quando a taxa de juros é contínua \delta por unidade de tempo, o fator de acumulação de um montante aplicado por um intervalo de tempo t é e^{\delta t}. Ou seja, um real aplicado por t meses vira e^{\delta t} reais ao fim desses t meses.
  • Depósitos contínuos (fluxo contínuo): se se deposita continuamente à taxa c (reais por mês) durante [0,T], cada pequeno depósito feito no tempo t (um valor infinitesimal c\,dt) acumula até T multiplicado por e^{\delta (T-t)}. Assim o montante final S é a integral das contribuições acumuladas:
S=\int_{0}^{T} c\,e^{\delta (T-t)}\,dt.
Vou resolver essa integral no passo seguinte e explicar cada termo: c é a taxa contínua de depósito; t é o tempo de depósito; T é o tempo final; \delta é a taxa contínua de juros.

Passo 3

Resolver a integral para o montante acumulado (parte a).
Começo da integral:
S=\int_{0}^{T} c\,e^{\delta (T-t)}\,dt.
Para facilitar, fatoro e^{\delta T}:
S=c\,e^{\delta T}\int_{0}^{T} e^{-\delta t}\,dt.
Agora calculo a integral elementar:
\int_{0}^{T} e^{-\delta t}\,dt = \left[-\frac{1}{\delta}e^{-\delta t}\right]_{0}^{T} = -\frac{1}{\delta}e^{-\delta T} + \frac{1}{\delta} = \frac{1-e^{-\delta T}}{\delta}.
Substituindo:
S = c\,e^{\delta T}\cdot\frac{1-e^{-\delta T}}{\delta}.
Multiplicando e^{\delta T} por 1-e^{-\delta T} simplifica para e^{\delta T}-1. Assim a forma clássica é
S = c\cdot\frac{e^{\delta T}-1}{\delta}.
Aqui: c=100, \delta=0{,}01 e T=240. Substituo:
S = 100\cdot\frac{e^{0{,}01\cdot 240}-1}{0{,}01} = 100\cdot\frac{e^{2{,}4}-1}{0{,}01}.

Passo 4

Cálculo numérico do montante acumulado (parte a).
Calculo e^{2{,}4}. Usando aproximação:
e^{2{,}4}\approx 11{,}0231763806.
Logo
e^{2{,}4}-1 \approx 10{,}0231763806.
Divido por 0{,}01:
\frac{e^{2{,}4}-1}{0{,}01} \approx 1002{,}31763806.
Multiplico por 100:
S \approx 100231{,}763806.
Arredondando para centavos:
S \approx 100231{,}76\\ \text{R\$}.

Passo 5

Preparação para a parte (b): modelagem das retiradas mensais discretas.
  • Vou assumir retiradas mensais no final de cada mês (anuidade-imediata) de valor R constantes, por n=240 meses.
  • Com taxa contínua \delta por mês, o fator de acumulação por um mês é e^{\delta}. A taxa efetiva por período (mês) correspondente a essa acumulação é
i = e^{\delta}-1.
  • O fator desconto por um mês é v=e^{-\delta}.
  • A fórmula do valor presente (no início da fase de retirada, que chamamos de tempo 0 relativo à retirada — na prática é o tempo T do acúmulo) de uma anuidade-imediata de n pagamentos de R é
PV = R\cdot\frac{1-v^{n}}{i}.
Aqui PV é o capital disponível no início da retirada (que é o montante S encontrado na parte a). Para que o capital se anule após os n pagamentos, devemos ter
S = R\cdot\frac{1-v^{n}}{i}.
Isolando R:
R = S\cdot\frac{i}{1-v^{n}}.
Expliquei as variáveis:
  • S: capital disponível no início das retiradas (já calculado).
  • i: taxa efetiva por mês igual a e^{\delta}-1.
  • v: desconto por mês e^{-\delta}.
  • n=240: número de retiradas mensais.

Passo 6

Cálculo numérico da retirada mensal R (parte b). Vou usar relações algébricas para simplificar antes de numerar.
Sabendo que S = c\cdot\frac{e^{\delta T}-1}{\delta} e v^{n}=e^{-\delta n}=e^{-\delta T} (pois n=T em meses), temos
R = S\cdot\frac{e^{\delta}-1}{1-e^{-\delta T}} = c\cdot\frac{e^{\delta T}-1}{\delta}\cdot\frac{e^{\delta}-1}{1-e^{-\delta T}}.
Observe a simplificação
\frac{e^{\delta T}-1}{1-e^{-\delta T}} = e^{\delta T},
porque 1-e^{-\delta T}=(e^{\delta T}-1)/e^{\delta T}. Assim
R = c\cdot e^{\delta T}\cdot\frac{e^{\delta}-1}{\delta}.
Agora substituo os números: c=100, \delta=0{,}01, T=240, logo e^{\delta T}=e^{2{,}4} e e^{\delta}-1=e^{0{,}01}-1.
R = 100\cdot e^{2{,}4}\cdot\frac{e^{0{,}01}-1}{0{,}01}.
Faço as contas numéricas:
e^{2{,}4}\approx 11{,}0231763806,\qquad e^{0{,}01}-1\approx 0{,}01005016708.
Logo
\frac{e^{0{,}01}-1}{0{,}01}\approx 1{,}0050167084.
Multiplicando:
R \approx 100\cdot 11{,}0231763806\cdot 1{,}0050167084 \approx 1107{,}847503.
Arredondando para centavos:
R \approx 1107{,}85\\ \text{R\$ por mês}.ê

Passo 7

Breve interpretação e motivação (para você se sentir confiante).
  • Resultado da parte (a): acumulou-se algo da ordem de cem mil reais após 20 anos de depósitos contínuos de 100 R$ por mês a \delta=1\% ao mês.
  • Na parte (b) a retirada mensal necessária para esgotar esse montante em mais 20 anos, com a mesma taxa, é bem maior que 100 porque agora além de gastar o principal há a necessidade de compensar o fato de as retiradas serem periódicas e o tempo ser longo; juros ajudam, mas mesmo assim R fica em torno de 1{,}1 mil reais por mês.
  • Se quiser, posso refazer considerando retiradas contínuas (em vez de mensais) ou retiradas mensais feitas no início do mês (anuidade-due); me diga qual você prefere — mas para a maioria das provas o modelo anuidade-imediata (final do período) é o padrão.

Resposta

\text{R\$ }100231{,}76
\text{R\$ }1107{,}85

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