Com o objetivo de fazer uma previdência particular uma pessoa deposita uma quantia de 100 reais por mês durante 20 anos (suponha que o depósito é feito continuamente a uma taxa de 100 reais por mês).
a) Supondo que neste período a taxa de juros seja de
ao mês (contínua), qual o valor que esta pessoa iria ter ao fim deste período.
b) Se após o período anterior esta pessoa quisesse fazer retiradas mensais, qual deveria ser o valor destas retiradas para que em 20 anos tenha desaparecido o capital, se a taxa de juros continuasse em
(contínua)?
a) Supondo que neste período a taxa de juros seja de
b) Se após o período anterior esta pessoa quisesse fazer retiradas mensais, qual deveria ser o valor destas retiradas para que em 20 anos tenha desaparecido o capital, se a taxa de juros continuasse em
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, pegando os números do enunciado.
- Depósito contínuo a uma taxa de
reais por mês (ou seja, um fluxo contínuo de caixa de /mês). - Duração dos depósitos:
anos = meses (ou seja, meses). - Taxa de juros:
ao mês (contínua). Vou representar essa taxa contínua por , portanto por mês. - Parte (a): calcular o valor acumulado ao final do período de
anos (isto é, o montante ao tempo meses). - Parte (b): depois desse acúmulo, a pessoa quer fazer retiradas mensais (pagamentos mensais discretos, que assumirei feitos ao final de cada mês — padrão de anuidade-imediata) durante mais
anos ( meses), de modo que o capital fique zero ao final. Calcular o valor da retirada mensal . A taxa continua sendo (juros contínuos).
Passo 2
Entendendo a modelagem (aulas rápidas e claras sobre o que usar).
- Juros contínuos: quando a taxa de juros é contínua
por unidade de tempo, o fator de acumulação de um montante aplicado por um intervalo de tempo é . Ou seja, um real aplicado por meses vira reais ao fim desses meses. - Depósitos contínuos (fluxo contínuo): se se deposita continuamente à taxa
(reais por mês) durante , cada pequeno depósito feito no tempo (um valor infinitesimal ) acumula até multiplicado por . Assim o montante final é a integral das contribuições acumuladas:
Vou resolver essa integral no passo seguinte e explicar cada termo:
é a taxa contínua de depósito;
é o tempo de depósito;
é o tempo final;
é a taxa contínua de juros.
Passo 3
Resolver a integral para o montante acumulado (parte a).
Começo da integral:
Para facilitar, fatoro
:
Agora calculo a integral elementar:
Substituindo:
Multiplicando
por
simplifica para
. Assim a forma clássica é
Aqui:
,
e
. Substituo:
Passo 4
Cálculo numérico do montante acumulado (parte a).
Calculo
. Usando aproximação:
Logo
Divido por
:
Multiplico por
:
Arredondando para centavos:
Passo 5
Preparação para a parte (b): modelagem das retiradas mensais discretas.
- Vou assumir retiradas mensais no final de cada mês (anuidade-imediata) de valor
constantes, por meses. - Com taxa contínua
por mês, o fator de acumulação por um mês é . A taxa efetiva por período (mês) correspondente a essa acumulação é
- O fator desconto por um mês é
. - A fórmula do valor presente (no início da fase de retirada, que chamamos de tempo
relativo à retirada — na prática é o tempo do acúmulo) de uma anuidade-imediata de pagamentos de é
Aqui
é o capital disponível no início da retirada (que é o montante
encontrado na parte a). Para que o capital se anule após os
pagamentos, devemos ter
Isolando
:
Expliquei as variáveis:
-
: capital disponível no início das retiradas (já calculado). -
: taxa efetiva por mês igual a . -
: desconto por mês . -
: número de retiradas mensais.
Passo 6
Cálculo numérico da retirada mensal
(parte b). Vou usar relações algébricas para simplificar antes de numerar.
Sabendo que
e
(pois
em meses), temos
Observe a simplificação
porque
. Assim
Agora substituo os números:
,
,
, logo
e
.
Faço as contas numéricas:
Logo
Multiplicando:
Arredondando para centavos:
Passo 7
Breve interpretação e motivação (para você se sentir confiante).
- Resultado da parte (a): acumulou-se algo da ordem de cem mil reais após 20 anos de depósitos contínuos de
R$ por mês a ao mês. - Na parte (b) a retirada mensal necessária para esgotar esse montante em mais 20 anos, com a mesma taxa, é bem maior que
porque agora além de gastar o principal há a necessidade de compensar o fato de as retiradas serem periódicas e o tempo ser longo; juros ajudam, mas mesmo assim fica em torno de mil reais por mês. - Se quiser, posso refazer considerando retiradas contínuas (em vez de mensais) ou retiradas mensais feitas no início do mês (anuidade-due); me diga qual você prefere — mas para a maioria das provas o modelo anuidade-imediata (final do período) é o padrão.