a) Encontre um fator de integração
para as equações
a)
b)
de forma a transformá-las em equações exatas.
c) Verifique que a função
encontrada é realmente um fator integrante.
a)
b)
de forma a transformá-las em equações exatas.
c) Verifique que a função
Passo 1
O enunciado pede para cada uma das duas equações diferenciais encontrar um fator integrante
que dependa somente de
e que transforme a equação em exata. As equações fornecidas são:
a)
b)
Informações relevantes que temos (tirei diretamente dos enunciados):
- Cada equação pode ser escrita no formato diferencial exato
multiplicando por . - Queremos um fator integrante
que dependa apenas de . - Depois de encontrar
, precisamos verificar que ela torna a forma exata, isto é, que .
Passo 2
Explicação do método (passo-a-passo didático): como achar um fator integrante que dependa só de
.
- Escrever a equação no formato diferencial. Para uma equação dada por
multiplica-se por
e obtemos
- Definição de exatidão: a forma
é exata se existe uma função tal que
Isso implica a condição de compatibilidade
Se essa igualdade não vale, a forma não é exata.
- Procurando um fator integrante
que dependa somente de : queremos e tais que
Como
depende só de
, ao derivar temos
Dividindo por
(assumindo
) resulta
Observação crucial: o lado direito deve depender somente de
(não pode depender de
) para que exista uma
função só de
. Se for o caso, integramos
e obtemos
. Na prática podemos escolher a constante igual a
.
Agora aplicamos isso a cada item.
Passo 3
Aplicação ao item (a).
- Identificar
e a partir da equação
Multiplicando por
:
com
- Calcular as derivadas parciais necessárias:
- Montar a razão da condição para
:
Note que o resultado é função apenas de
(bom sinal!).
- Integrar para obter
:
Logo, escolhendo a constante multiplicativa igual a
,
Passo 4
Verificação do item (a) — provar que
torna a forma exata.
- Calcular
e :
- Derivar e comparar:
Como as duas derivadas parciais coincidem, a forma é exata. Assim
é realmente um fator integrante para (a).
Passo 5
Aplicação ao item (b).
- Identificar
e a partir da equação
Multiplicando por
:
com
- Calcular as derivadas parciais:
- Montar a razão:
Isso depende somente de
, portanto existe
adequada.
- Integrar para obter
:
Escolhendo constante multiplicativa
,
Passo 6
Verificação do item (b) — provar que
torna a forma exata.
- Calcular
e :
- Derivar e comparar:
As duas derivadas são iguais; portanto a forma é exata com esse
. Assim
é um fator integrante para (b).
Resposta
a)
b)
b)