a) Encontre um fator de integração \lambda(y) para as equações
a) x y+\left(2 x^{2}+3 y^{2}-20\right) \frac{d y}{d x}=0
b) x+\left(x^{2} y+4 y\right) \frac{d y}{d x}=0
de forma a transformá-las em equações exatas.
c) Verifique que a função \lambda(y) encontrada é realmente um fator integrante.

Passo 1

O enunciado pede para cada uma das duas equações diferenciais encontrar um fator integrante \lambda(y) que dependa somente de y e que transforme a equação em exata. As equações fornecidas são:
a) \;x y+\bigl(2 x^{2}+3 y^{2}-20\bigr)\dfrac{d y}{d x}=0.
b) \;x+\bigl(x^{2} y+4 y\bigr)\dfrac{d y}{d x}=0.
Informações relevantes que temos (tirei diretamente dos enunciados):
  • Cada equação pode ser escrita no formato diferencial exato M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 multiplicando por dx.
  • Queremos um fator integrante \lambda(y) que dependa apenas de y.
  • Depois de encontrar \lambda(y), precisamos verificar que ela torna a forma exata, isto é, que \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(\lambda M\bigr)=\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(\lambda N\bigr).

Passo 2

Explicação do método (passo-a-passo didático): como achar um fator integrante que dependa só de y.
  1. Escrever a equação no formato diferencial. Para uma equação dada por
M(x,y)+N(x,y)\frac{dy}{dx}=0
multiplica-se por dx e obtemos
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0.
  1. Definição de exatidão: a forma M\,dx+N\,dy é exata se existe uma função \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M,\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N.
Isso implica a condição de compatibilidade
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Se essa igualdade não vale, a forma não é exata.
  1. Procurando um fator integrante \lambda(y) que dependa somente de y: queremos \lambda(y)M e \lambda(y)N tais que
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\lambda M\bigr)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\lambda N\bigr).
Como \lambda depende só de y, ao derivar temos
\lambda\frac{\partial M}{\partial y}+\lambda'(y)M=\lambda\frac{\partial N}{\partial x}.
Dividindo por \lambda (assumindo \lambda\neq0) resulta
\frac{\lambda'(y)}{\lambda(y)}=\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M}.
Observação crucial: o lado direito deve depender somente de y (não pode depender de x) para que exista uma \lambda função só de y. Se for o caso, integramos
\frac{\lambda'(y)}{\lambda(y)}=g(y)\quad\Longrightarrow\quad \ln\lambda(y)=\int g(y)\,dy + C
e obtemos \lambda(y)=\mathrm{const}\cdot e^{\int g(y)\,dy}. Na prática podemos escolher a constante igual a 1.
Agora aplicamos isso a cada item.

Passo 3

Aplicação ao item (a).
  1. Identificar M e N a partir da equação
x y+\bigl(2 x^{2}+3 y^{2}-20\bigr)\frac{dy}{dx}=0.
Multiplicando por dx:
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
com
M(x,y)=x y,\qquad N(x,y)=2x^{2}+3y^{2}-20.
  1. Calcular as derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x y\bigr)=x,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x^{2}+3y^{2}-20\bigr)=4x.
  1. Montar a razão da condição para \lambda(y):
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M}=\frac{4x-x}{x y}=\frac{3x}{x y}=\frac{3}{y}.
Note que o resultado é função apenas de y (bom sinal!).
  1. Integrar para obter \lambda:
\frac{\lambda'(y)}{\lambda(y)}=\frac{3}{y}\quad\Longrightarrow\quad \ln\lambda(y)=\int \frac{3}{y}\,dy=3\ln y + C.
Logo, escolhendo a constante multiplicativa igual a 1,
\lambda(y)=y^{3}.

Passo 4

Verificação do item (a) — provar que \lambda(y)=y^{3} torna a forma exata.
  1. Calcular \lambda M e \lambda N:
\lambda M = y^{3}\cdot (x y)=x y^{4},
\lambda N = y^{3}\cdot\bigl(2x^{2}+3y^{2}-20\bigr)=2x^{2}y^{3}+3y^{5}-20y^{3}.
  1. Derivar e comparar:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\lambda M\bigr)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x y^{4}\bigr)=4x y^{3},
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\lambda N\bigr)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x^{2}y^{3}+3y^{5}-20y^{3}\bigr)=4x y^{3}.
Como as duas derivadas parciais coincidem, a forma é exata. Assim \lambda(y)=y^{3} é realmente um fator integrante para (a).

Passo 5

Aplicação ao item (b).
  1. Identificar M e N a partir da equação
x+\bigl(x^{2}y+4y\bigr)\frac{dy}{dx}=0.
Multiplicando por dx:
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
com
M(x,y)=x,\qquad N(x,y)=x^{2}y+4y.
  1. Calcular as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x)=0,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y+4y\bigr)=2x y.
  1. Montar a razão:
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M}=\frac{2x y-0}{x}=2y.
Isso depende somente de y, portanto existe \lambda(y) adequada.
  1. Integrar para obter \lambda:
\frac{\lambda'(y)}{\lambda(y)}=2y\quad\Longrightarrow\quad \ln\lambda(y)=\int 2y\,dy=y^{2}+C.
Escolhendo constante multiplicativa 1,
\lambda(y)=e^{y^{2}}.

Passo 6

Verificação do item (b) — provar que \lambda(y)=e^{y^{2}} torna a forma exata.
  1. Calcular \lambda M e \lambda N:
\lambda M = e^{y^{2}}\cdot x = x e^{y^{2}},
\lambda N = e^{y^{2}}\cdot\bigl(x^{2}y+4y\bigr)=y e^{y^{2}}\bigl(x^{2}+4\bigr).
  1. Derivar e comparar:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\lambda M\bigr)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x e^{y^{2}}\bigr)=x\cdot 2y e^{y^{2}}=2xy e^{y^{2}},
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\lambda N\bigr)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y e^{y^{2}}(x^{2}+4)\bigr)=y e^{y^{2}}\cdot 2x=2xy e^{y^{2}}.
As duas derivadas são iguais; portanto a forma é exata com esse \lambda. Assim \lambda(y)=e^{y^{2}} é um fator integrante para (b).

Resposta

a) \lambda(y)=y^{3}
b) \lambda(y)=e^{y^{2}}

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