Considere a seguinte equação diferencial:
a) Mostre que esta equação diferencial não é exata e que
é um fator integrante da mesma.
b) Encontre a solução geral desta equação diferencial. c) Encontre a solução geral que satisfaz
.
b) Encontre a solução geral desta equação diferencial. c) Encontre a solução geral que satisfaz
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede três coisas:
a) Mostrar que a equação NÃO é exata e que é um fator integrante (fator integrante depende apenas de
).
b) Encontrar a solução geral da equação diferencial.
c) Encontrar a solução geral que satisfaz a condição inicial .
a) Mostrar que a equação NÃO é exata e que
b) Encontrar a solução geral da equação diferencial.
c) Encontrar a solução geral que satisfaz a condição inicial
Informações úteis extraídas do enunciado (vou tratar a equação na forma de diferencial exato):
- Defino
de modo que a equação tem a forma
Passo 2
Verificar se a equação é exata: calcular as derivadas parciais
e
.
-
Calculo
. Como , ao derivar em relação a tratamos como constante. Assim -
Calculo
. Como , ao derivar em relação a tratamos como constante. Assim
Comparando:
que não são iguais em geral. Portanto a equação NÃO é exata.
Passo 3
Procurar um fator integrante que dependa só de
. Regra prática (explicação breve):
- Se existe
apenas função de tal que é exata, então deve valer porque a condição de exatidão para e leva a que rearranjado dá . Se o lado direito depende só de , podemos integrar para achar .
Calculo o lado direito com os
do passo 1:
Factor comum
no numerador:
Portanto o quociente é exatamente
, que depende só de
. Logo existe
e satisfaz
Integrando:
Tomando
(constante multiplicativa irrelevante para fator integrante) temos
Assim
é um fator integrante.
Passo 4
Multiplico a equação original por
. O novo par
é
Verifico exatidão:
Como
, a equação multiplicada por
é exata. Isso confirma que
é fator integrante.
Passo 5
Resolver a equação exata
encontrando uma função potencial
tal que
Integro
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função arbitrária de
(constante de integração da integração parcial).
Passo 6
Determinar
usando
. Calculo
Igualando a
obtém-se
Integrando
:
Então a função potencial completa (absorvendo a constante
na constante da solução) é
Passo 7
A solução implícita geral para a equação exata (e portanto da original após dividir pelo fator integrante) é
ou seja
onde
é constante arbitrária. Esta é a solução geral implícita pedida em (b).
Passo 8
Impor a condição inicial
para encontrar a constante
. Substituo
e
na solução:
Logo
. A solução particular que satisfaz
é
Resposta
a) A equação não é exata;
é um fator integrante.
b) Solução geral (implícita):
c) Solução que satisfaz
: