Considere a seguinte equação diferencial:
\frac{1}{x^{3}}+\frac{e^{y}}{x}+\left(e^{y}+\frac{1}{x y}\right) y^{\prime}=0
a) Mostre que esta equação diferencial não é exata e que \lambda(x)=x é um fator integrante da mesma.
b) Encontre a solução geral desta equação diferencial. c) Encontre a solução geral que satisfaz y(1)=1.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{1}{x^{3}}+\frac{e^{y}}{x}+\left(e^{y}+\frac{1}{x y}\right) y^{\prime}=0
e pede três coisas:
a) Mostrar que a equação NÃO é exata e que \lambda(x)=x é um fator integrante (fator integrante depende apenas de x).
b) Encontrar a solução geral da equação diferencial.
c) Encontrar a solução geral que satisfaz a condição inicial \,y(1)=1.
Informações úteis extraídas do enunciado (vou tratar a equação na forma de diferencial exato):
  • Defino M(x,y)=\frac{1}{x^{3}}+\frac{e^{y}}{x},\qquad N(x,y)=e^{y}+\frac{1}{x y},de modo que a equação tem a forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0.

Passo 2

Verificar se a equação é exata: calcular as derivadas parciais \partial M/\partial y e \partial N/\partial x.
  • Calculo \partial M/\partial y. Como M(x,y)=\dfrac{1}{x^{3}}+\dfrac{e^{y}}{x}, ao derivar em relação a y tratamos x como constante. Assim
    \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{e^{y}}{x}.
  • Calculo \partial N/\partial x. Como N(x,y)=e^{y}+\dfrac{1}{x y}, ao derivar em relação a x tratamos y como constante. Assim
    \frac{\partial N}{\partial x}=0+\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x y}\right)=-\frac{1}{x^{2}y}.
Comparando:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{e^{y}}{x}\qquad\text{e}\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=-\frac{1}{x^{2}y},
que não são iguais em geral. Portanto a equação NÃO é exata.

Passo 3

Procurar um fator integrante que dependa só de x. Regra prática (explicação breve):
  • Se existe \mu(x) apenas função de x tal que \mu(x)M\,dx+\mu(x)N\,dy é exata, então deve valer \frac{d\ln\mu}{dx}=\frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N},porque a condição de exatidão para \mu M e \mu N leva a \mu\frac{\partial M}{\partial y}=\mu'\,N+\mu\frac{\partial N}{\partial x},que rearranjado dá \dfrac{\mu'}{\mu}=\dfrac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N}. Se o lado direito depende só de x, podemos integrar para achar \mu.
Calculo o lado direito com os M,N do passo 1:
\frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N} =\frac{\dfrac{e^{y}}{x}-\left(-\dfrac{1}{x^{2}y}\right)}{e^{y}+\dfrac{1}{x y}} =\frac{\dfrac{e^{y}}{x}+\dfrac{1}{x^{2}y}}{e^{y}+\dfrac{1}{x y}}.
Factor comum \dfrac{1}{x} no numerador:
\frac{\dfrac{1}{x}\left(e^{y}+\dfrac{1}{x y}\right)}{e^{y}+\dfrac{1}{x y}} =\frac{1}{x}.
Portanto o quociente é exatamente \dfrac{1}{x}, que depende só de x. Logo existe \mu(x) e satisfaz
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=\frac{1}{x}.
Integrando:
\ln\mu(x)=\int\frac{1}{x}\,dx=\ln x + C.
Tomando C=0 (constante multiplicativa irrelevante para fator integrante) temos
\mu(x)=x.
Assim \lambda(x)=x é um fator integrante.

Passo 4

Multiplico a equação original por \lambda(x)=x. O novo par M^{*},N^{*} é
M^{*}(x,y)=xM(x,y)=x\left(\frac{1}{x^{3}}+\frac{e^{y}}{x}\right)=\frac{1}{x^{2}}+e^{y},
N^{*}(x,y)=xN(x,y)=x\left(e^{y}+\frac{1}{x y}\right)=x e^{y}+\frac{1}{y}.
Verifico exatidão:
\frac{\partial M^{*}}{\partial y}=\frac{d}{dy}\left(\frac{1}{x^{2}}+e^{y}\right)=e^{y},
\frac{\partial N^{*}}{\partial x}=\frac{d}{dx}\left(x e^{y}+\frac{1}{y}\right)=e^{y}.
Como \dfrac{\partial M^{*}}{\partial y}=\dfrac{\partial N^{*}}{\partial x}, a equação multiplicada por x é exata. Isso confirma que \lambda(x)=x é fator integrante.

Passo 5

Resolver a equação exata \;M^{*}\,dx+N^{*}\,dy=0 encontrando uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M^{*}(x,y)=\frac{1}{x^{2}}+e^{y}, \qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N^{*}(x,y)=x e^{y}+\frac{1}{y}.
Integro \dfrac{\partial \Phi}{\partial x}= \dfrac{1}{x^{2}}+e^{y} em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int\left(\frac{1}{x^{2}}+e^{y}\right)dx =-\frac{1}{x}+x e^{y}+h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (constante de integração da integração parcial).

Passo 6

Determinar h(y) usando \dfrac{\partial \Phi}{\partial y}=N^{*}. Calculo
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{1}{x}+x e^{y}+h(y)\right) = x e^{y}+h'(y).
Igualando a N^{*}(x,y)=x e^{y}+\dfrac{1}{y} obtém-se
x e^{y}+h'(y)=x e^{y}+\frac{1}{y}\quad\Rightarrow\quad h'(y)=\frac{1}{y}.
Integrando h'(y):
h(y)=\int\frac{1}{y}\,dy=\ln|y|+C.
Então a função potencial completa (absorvendo a constante C na constante da solução) é
\Phi(x,y)=-\frac{1}{x}+x e^{y}+\ln|y|.

Passo 7

A solução implícita geral para a equação exata (e portanto da original após dividir pelo fator integrante) é
\Phi(x,y)=C,
ou seja
-\frac{1}{x}+x e^{y}+\ln|y|=C,
onde C é constante arbitrária. Esta é a solução geral implícita pedida em (b).

Passo 8

Impor a condição inicial \,y(1)=1 para encontrar a constante C. Substituo x=1 e y=1 na solução:
-\frac{1}{1}+1\cdot e^{1}+\ln|1|=-1+e+0=e-1.
Logo C=e-1. A solução particular que satisfaz y(1)=1 é
-\frac{1}{x}+x e^{y}+\ln|y|=e-1.

Resposta

a) A equação não é exata; \lambda(x)=x é um fator integrante.
b) Solução geral (implícita):
-\frac{1}{x}+x e^{y}+\ln|y|=C.
c) Solução que satisfaz y(1)=1:
-\frac{1}{x}+x e^{y}+\ln|y|=e-1.

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