Com o objetivo de investigar a influência do tempo de estágio na obtenção de bons empregos, uma amostra de profissionais recém-formados foi sorteada aleatoriamente.
O número de anos de estágio anteriores à formatura foi observado conforme mostrado abaixo:
Anos de Estágio
0
1
2
3
4
5
6
Total
Frequência
25
58
147
105
72
45
10
462
Com relação aos tempos de estágio, calcule:
a) a média
b) a variância
c) o coeficiente de variação
d) Para efeito de análise, decidiu-se desprezar os valores que se distanciassem da média amostral por mais de 2 desvios padrão. Isto é, só serão considerados os valores no intervalo \bar{x} \pm 2 s. Recalcule a média, a variância e o coeficiente de variação. Comente os resultados.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados (peguei os números da tabela do enunciado):
Valores possíveis de anos de estágio: 0,1,2,3,4,5,6.
O enunciado pede:
(a) calcular a média amostral;
(b) calcular a variância amostral;
(c) calcular o coeficiente de variação;
(d) desprezar valores fora do intervalo \bar{x}\pm2s (onde s é o desvio padrão amostral), e então recalcular média, variância e coeficiente de variação para os dados remanescentes; comentar os resultados.
Passo 2
Cálculo da média amostral. Vou explicar a fórmula e aplicá‑la passo a passo.
Fórmula da média para dados agrupados por frequências: \bar{x}=\frac{\sum_{i} f_i x_i}{n},
onde x_i são os valores (anos de estágio), f_i as frequências e n=\sum_i f_i é o total de observações.
Explicando em palavras: a média é a soma dos anos de estágio de todos os indivíduos dividida pelo número total de indivíduos.
Passo 3
Cálculo da variância amostral s^2. Vou explicar a diferença entre variância populacional e amostral e por que usar n-1.
Conceito: a variância mede a dispersão dos dados em torno da média. Para uma amostra normalmente usamos a variância amostral (estimador não viciado) com denominador n-1:
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_i f_i (x_i-\bar{x})^2.
Uma forma prática que evita calcular cada x_i-\bar{x} é usar a identidade
Observação didática: eu usei n-1 no denominador porque estamos estimando a variância da população a partir de uma amostra; esse fator corrige o viés da estimativa.
Passo 4
Cálculo do desvio padrão e do coeficiente de variação.
O desvio padrão amostral é s=\sqrt{s^2}. Com o valor encontrado:
s \approx \sqrt{1,950} \approx 1,397.
O coeficiente de variação (CV) é uma medida adimensional que relaciona dispersão com a média, normalmente dado em porcentagem:
Como os anos de estágio são inteiros 0,1,\dots,6, o intervalo ( -0,110,\;5,478) inclui as categorias 0,1,2,3,4,5 e exclui a categoria 6 (pois 6>5,478).
Então devemos remover as 10 observações referentes a 6 anos. O novo tamanho da amostra é
n' = 462-10 = 452.
Passo 6
Recalcular média, variância e coeficiente de variação com os dados filtrados (somente x=0,1,2,3,4,5).
Novas somas (removendo 6\cdot10=60 da soma dos valores e 36\cdot10=360 da soma dos quadrados):\sum_i f_i x_i \Big|_{\text{filtrado}} = 1240 - 60 = 1180,
Comentário dos resultados (explicando o que aconteceu e a interpretação de forma amigável).
O critério \bar{x}\pm2s excluiu apenas as 10 observações com 6 anos de estágio (aprox. 2{,}16\% da amostra), pois a cauda superior era o único lado a ultrapassar o limite.
A média caiu ligeiramente de 2,684 para 2,611. Isso faz sentido: removendo casos com valor alto (6) a média tende a diminuir, mas como eram poucos casos a mudança é pequena.
A variância diminuiu de aproximadamente 1,950 para 1,746. Ou seja, a dispersão reduziu — remover valores extremos costuma reduzir a variabilidade.
O coeficiente de variação passou de cerca de 52{,}0\% para 50{,}6\%: uma pequena redução relativa da dispersão em relação à média.
Em termos práticos: a remoção dos valores além de 2s teve efeito moderado, porque foram poucos casos. O corte deixou a distribuição um pouco menos dispersa e reduziu a média levemente; não houve mudança drástica, o que indica que os 10 casos com 6 anos eram poucos para alterar muito as estatísticas globais.
Resposta
a) \bar{x}=\dfrac{1240}{462}\approx 2,684
b) s^2\approx 1,950
c) \mathrm{CV}\approx 51,97\% (aprox. 52{,}0\%)
d) Após desprezar observações fora de \bar{x}\pm2s (foram excluídos os 10 casos com 6 anos): \bar{x}'=\dfrac{1180}{452}\approx 2,611 s'^2\approx 1,746 \mathrm{CV}'\approx 50,64\% (aprox. 50{,}6\%)