Com o objetivo de investigar a influência do tempo de estágio na obtenção de bons empregos, uma amostra de profissionais recém-formados foi sorteada aleatoriamente.
O número de anos de estágio anteriores à formatura foi observado conforme mostrado abaixo:
Anos de Estágio 0 1 2 3 4 5 6 Total
Frequência 25 58 147 105 72 45 10 462
Com relação aos tempos de estágio, calcule:
a) a média
b) a variância
c) o coeficiente de variação
d) Para efeito de análise, decidiu-se desprezar os valores que se distanciassem da média amostral por mais de 2 desvios padrão. Isto é, só serão considerados os valores no intervalo \bar{x} \pm 2 s. Recalcule a média, a variância e o coeficiente de variação. Comente os resultados.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados (peguei os números da tabela do enunciado):
    • Valores possíveis de anos de estágio: 0,1,2,3,4,5,6.
    • Frequências correspondentes: 25,58,147,105,72,45,10.
    • Tamanho da amostra: n=462 (soma das frequências).
  • O enunciado pede:
    (a) calcular a média amostral;
    (b) calcular a variância amostral;
    (c) calcular o coeficiente de variação;
    (d) desprezar valores fora do intervalo \bar{x}\pm2s (onde s é o desvio padrão amostral), e então recalcular média, variância e coeficiente de variação para os dados remanescentes; comentar os resultados.

Passo 2

Cálculo da média amostral. Vou explicar a fórmula e aplicá‑la passo a passo.
  • Fórmula da média para dados agrupados por frequências: \bar{x}=\frac{\sum_{i} f_i x_i}{n},
onde x_i são os valores (anos de estágio), f_i as frequências e n=\sum_i f_i é o total de observações.
  • Primeiro calculo \sum_i f_i x_i. Usando os dados:
    \sum_i f_i x_i = 0\cdot25 + 1\cdot58 + 2\cdot147 + 3\cdot105 + 4\cdot72 + 5\cdot45 + 6\cdot10.
    Vou somar term por term:
    0 + 58 + 294 + 315 + 288 + 225 + 60 = 1240.
  • Então a média é
    \bar{x}=\frac{1240}{462} \approx 2,684.
Explicando em palavras: a média é a soma dos anos de estágio de todos os indivíduos dividida pelo número total de indivíduos.

Passo 3

Cálculo da variância amostral s^2. Vou explicar a diferença entre variância populacional e amostral e por que usar n-1.
  • Conceito: a variância mede a dispersão dos dados em torno da média. Para uma amostra normalmente usamos a variância amostral (estimador não viciado) com denominador n-1:
    s^2=\frac{1}{n-1}\sum_i f_i (x_i-\bar{x})^2.
    Uma forma prática que evita calcular cada x_i-\bar{x} é usar a identidade
    \sum_i f_i (x_i-\bar{x})^2 = \sum_i f_i x_i^2 - n\bar{x}^2,
    portanto
    s^2=\frac{\sum_i f_i x_i^2 - n\bar{x}^2}{n-1}.
  • Calculo \sum_i f_i x_i^2:
    \sum_i f_i x_i^2 = 0^2\cdot25 + 1^2\cdot58 + 2^2\cdot147 + 3^2\cdot105 + 4^2\cdot72 + 5^2\cdot45 + 6^2\cdot10.
    Somando:
    0 + 58 + 588 + 945 + 1152 + 1125 + 360 = 4228.
  • Agora aplico a fórmula:
    s^2=\frac{4228 - 462\left(\dfrac{1240}{462}\right)^2}{462-1}.
    Calculei numericamente:
    4228 - \frac{1240^2}{462} \approx 899,863,
    e
    s^2 \approx \frac{899,863}{461} \approx 1,950.
Observação didática: eu usei n-1 no denominador porque estamos estimando a variância da população a partir de uma amostra; esse fator corrige o viés da estimativa.

Passo 4

Cálculo do desvio padrão e do coeficiente de variação.
  • O desvio padrão amostral é s=\sqrt{s^2}. Com o valor encontrado:
    s \approx \sqrt{1,950} \approx 1,397.
  • O coeficiente de variação (CV) é uma medida adimensional que relaciona dispersão com a média, normalmente dado em porcentagem:
    \mathrm{CV}=\frac{s}{\bar{x}}\times100\%.
    Substituindo:
    \mathrm{CV}\approx\frac{1,397}{2,684}\times100\% \approx 51,97\%\\ (\text{aprox. }52{,}0\%).
Interpretação curta: um CV em torno de 52\% indica dispersão relativamente grande em relação à média.

Passo 5

Aplicar o critério de cortar observações fora de \bar{x}\pm2s e identificar quais categorias são removidas.
  • Cálculo do intervalo \bar{x}\pm2s:
    \bar{x}\pm2s \approx 2,684 \pm 2\cdot1,397 = 2,684 \pm 2,794.
    Portanto os limites são
    \text{limite inferior}\approx 2,684-2,794\approx -0,110, \qquad \text{limite superior}\approx 2,684+2,794\approx 5,478.
  • Como os anos de estágio são inteiros 0,1,\dots,6, o intervalo ( -0,110,\;5,478) inclui as categorias 0,1,2,3,4,5 e exclui a categoria 6 (pois 6>5,478).
  • Então devemos remover as 10 observações referentes a 6 anos. O novo tamanho da amostra é
    n' = 462-10 = 452.

Passo 6

Recalcular média, variância e coeficiente de variação com os dados filtrados (somente x=0,1,2,3,4,5).
  • Novas somas (removendo 6\cdot10=60 da soma dos valores e 36\cdot10=360 da soma dos quadrados): \sum_i f_i x_i \Big|_{\text{filtrado}} = 1240 - 60 = 1180,
\sum_i f_i x_i^2 \Big|_{\text{filtrado}} = 4228 - 360 = 3868.
  • Nova média:
    \bar{x}'=\frac{1180}{452} \approx 2,611.
  • Nova variância amostral (usar n'-1 no denominador):
    s'^2=\frac{3868 - 452\left(\dfrac{1180}{452}\right)^2}{452-1}.
    Calculando numericamente:
    3868 - \frac{1180^2}{452} \approx 787,469,
    e
    s'^2 \approx \frac{787,469}{451} \approx 1,746.
  • Novo desvio padrão:
    s' \approx \sqrt{1,746} \approx 1,322.
  • Novo coeficiente de variação:
    \mathrm{CV}'=\frac{s'}{\bar{x}'}\times100\% \approx \frac{1,322}{2,611}\times100\% \approx 50,64\% \\ (\text{aprox. }50{,}6\%).

Passo 7

Comentário dos resultados (explicando o que aconteceu e a interpretação de forma amigável).
  • O critério \bar{x}\pm2s excluiu apenas as 10 observações com 6 anos de estágio (aprox. 2{,}16\% da amostra), pois a cauda superior era o único lado a ultrapassar o limite.
  • A média caiu ligeiramente de 2,684 para 2,611. Isso faz sentido: removendo casos com valor alto (6) a média tende a diminuir, mas como eram poucos casos a mudança é pequena.
  • A variância diminuiu de aproximadamente 1,950 para 1,746. Ou seja, a dispersão reduziu — remover valores extremos costuma reduzir a variabilidade.
  • O coeficiente de variação passou de cerca de 52{,}0\% para 50{,}6\%: uma pequena redução relativa da dispersão em relação à média.
  • Em termos práticos: a remoção dos valores além de 2s teve efeito moderado, porque foram poucos casos. O corte deixou a distribuição um pouco menos dispersa e reduziu a média levemente; não houve mudança drástica, o que indica que os 10 casos com 6 anos eram poucos para alterar muito as estatísticas globais.

Resposta

a) \bar{x}=\dfrac{1240}{462}\approx 2,684
b) s^2\approx 1,950
c) \mathrm{CV}\approx 51,97\% (aprox. 52{,}0\%)
d) Após desprezar observações fora de \bar{x}\pm2s (foram excluídos os 10 casos com 6 anos):
\bar{x}'=\dfrac{1180}{452}\approx 2,611
s'^2\approx 1,746
\mathrm{CV}'\approx 50,64\% (aprox. 50{,}6\%)

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