Define-se escore padronizado (ou escore reduzido) como a medida que representa o desvio da i-ésima observação em relação à média dividido pelo desvio-padrão:
Ou seja,
fornece o número de desvios-padrão que a observação dista da média.
a) Suponha que um estudante obtenha nota 8,4 num teste de matemática e 9,0 num teste de física. Sabendo-se que as médias das notas da turma foram 7,6 (matemática) e 8,2 (física); e que os desviospadrão foram 1,0 (matemática) e 1,6 (física), em qual disciplina o aluno obteve o melhor desempenho em relação à turma?
b) Qual seria o desempenho do aluno em relação à turma, caso as médias da turma fossem 8,7 (matemática) e 9,3 (física)?
a) Suponha que um estudante obtenha nota 8,4 num teste de matemática e 9,0 num teste de física. Sabendo-se que as médias das notas da turma foram 7,6 (matemática) e 8,2 (física); e que os desviospadrão foram 1,0 (matemática) e 1,6 (física), em qual disciplina o aluno obteve o melhor desempenho em relação à turma?
b) Qual seria o desempenho do aluno em relação à turma, caso as médias da turma fossem 8,7 (matemática) e 9,3 (física)?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que é pedido.
Dados (peguei todos estes números do enunciado):
- Nota do aluno em matemática:
. - Nota do aluno em física:
. - Média da turma em matemática (cenário a):
. - Desvio-padrão em matemática:
. - Média da turma em física (cenário a):
. - Desvio-padrão em física:
.
Segundo cenário (para a parte b):
- Médias da turma passam a ser
(matemática) e (física). - Os desvios-padrão não foram alterados; assumimos
e também no segundo cenário.
O que o enunciado pede:
(a) Em qual disciplina o aluno obteve o melhor desempenho em relação à turma (com as médias originais)?
(b) O que muda no desempenho relativo do aluno se as médias da turma fossem as novas indicadas (fornecer o desempenho relativo em cada disciplina e dizer qual ficou melhor)?
(a) Em qual disciplina o aluno obteve o melhor desempenho em relação à turma (com as médias originais)?
(b) O que muda no desempenho relativo do aluno se as médias da turma fossem as novas indicadas (fornecer o desempenho relativo em cada disciplina e dizer qual ficou melhor)?
Passo 2
Explicação do conceito e do método que vamos usar (aula prática, devagarinho).
- O escore padronizado (ou z-score) de uma observação
é definido por:
- O que significa cada símbolo:
-
é a nota do aluno (a observação). -
é a média da turma (referência). -
é o desvio-padrão da turma (quanto, em média, as notas se espalham ao redor da média).
-
- Interpretação prática:
- Se
: a nota está acima da média da turma; quanto maior , melhor em relação à turma. - Se
: a nota está abaixo da média da turma. - O valor absoluto
conta quantos desvios-padrão a nota se afasta da média. Por exemplo, significa “uma unidade de desvio-padrão acima da média”.
- Se
- Método para responder (passo a passo):
- Calcular
em matemática usando . - Calcular
em física usando . - Comparar os dois
: o maior indica o melhor desempenho relativo.
- Calcular
Um exemplo simples para fixar (fora do problema): se um colega tem
em uma prova e outro tem
, o colega com
foi melhor em relação à sua turma porque está mais desvios-padrão acima da média.
Passo 3
Cálculo do escore padronizado em matemática no cenário original.
Aplicamos a fórmula:
Aplicamos a fórmula:
Substituindo os números que nos deram:
Interpretação imediata: a nota
está
desvios-padrão acima da média da turma em matemática.
Passo 4
Cálculo do escore padronizado em física no cenário original.
Usando a mesma fórmula:
Usando a mesma fórmula:
Substituindo:
Interpretação: a nota
está
desvios-padrão acima da média da turma em física.
Passo 5
Comparação dos resultados do cenário original (parte a).
- Encontramos
e . - Como
, a posição relativa do aluno é melhor em matemática (ele está mais desvios-padrão acima da média em matemática do que em física).
Passo 6
Agora fazemos a parte (b): recalcular os escores com as novas médias
e
. Mantemos os desvios-padrão
e
.
Cálculo em matemática com a nova média:
Interpretação: agora a nota
fica
desvios-padrão abaixo da média da turma em matemática.
Passo 7
Cálculo em física com a nova média:
Interpretação: a nota
fica cerca de
desvios-padrão abaixo da média da turma em física.
Passo 8
Comparação no segundo cenário (parte b).
- Encontramos
e . - Ambos os escores são negativos, ou seja, em ambas as disciplinas o aluno estaria abaixo da nova média da turma.
- Como
(ou, em termos absolutos, ), o desempenho relativo é melhor em física no segundo cenário — ele está menos abaixo da média em física do que em matemática.
Passo 9
Recapitulando de forma curta e prática (para decorar a técnica para prova):
- Sempre calcule
com . - Compare os
: maior → melhor desempenho relativo; sinal positivo → acima da média; sinal negativo → abaixo da média. - Faça as subtrações primeiro (nota menos média), depois divida pelo desvio-padrão. Não confunda ordem: é sempre
no numerador.
Resposta
(a) Matemática, pois
e
.
(b) Com as novas médias: e
; o aluno ficaria abaixo da média em ambas as disciplinas, mas relativamente se sairia melhor em física (porque
).
(b) Com as novas médias: