Define-se escore padronizado (ou escore reduzido) como a medida que representa o desvio da i-ésima observação em relação à média dividido pelo desvio-padrão:
z_{i}=\frac{x_{i}-\bar{x}}{s}
Ou seja, z_{i} fornece o número de desvios-padrão que a observação dista da média.
a) Suponha que um estudante obtenha nota 8,4 num teste de matemática e 9,0 num teste de física. Sabendo-se que as médias das notas da turma foram 7,6 (matemática) e 8,2 (física); e que os desviospadrão foram 1,0 (matemática) e 1,6 (física), em qual disciplina o aluno obteve o melhor desempenho em relação à turma?
b) Qual seria o desempenho do aluno em relação à turma, caso as médias da turma fossem 8,7 (matemática) e 9,3 (física)?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que é pedido.
Dados (peguei todos estes números do enunciado):
  • Nota do aluno em matemática: x_{\text{M}}=8,4.
  • Nota do aluno em física: x_{\text{F}}=9,0.
  • Média da turma em matemática (cenário a): \bar{x}_{\text{M}}=7,6.
  • Desvio-padrão em matemática: s_{\text{M}}=1,0.
  • Média da turma em física (cenário a): \bar{x}_{\text{F}}=8,2.
  • Desvio-padrão em física: s_{\text{F}}=1,6.
Segundo cenário (para a parte b):
  • Médias da turma passam a ser \bar{x}'_{\text{M}}=8,7 (matemática) e \bar{x}'_{\text{F}}=9,3 (física).
  • Os desvios-padrão não foram alterados; assumimos s_{\text{M}}=1,0 e s_{\text{F}}=1,6 também no segundo cenário.
O que o enunciado pede:
(a) Em qual disciplina o aluno obteve o melhor desempenho em relação à turma (com as médias originais)?
(b) O que muda no desempenho relativo do aluno se as médias da turma fossem as novas indicadas (fornecer o desempenho relativo em cada disciplina e dizer qual ficou melhor)?

Passo 2

Explicação do conceito e do método que vamos usar (aula prática, devagarinho).
  • O escore padronizado (ou z-score) de uma observação x_i é definido por:
z_i=\frac{x_i-\bar{x}}{s}.
  • O que significa cada símbolo:
    • x_i é a nota do aluno (a observação).
    • \bar{x} é a média da turma (referência).
    • s é o desvio-padrão da turma (quanto, em média, as notas se espalham ao redor da média).
  • Interpretação prática:
    • Se z_i>0: a nota está acima da média da turma; quanto maior z_i, melhor em relação à turma.
    • Se z_i<0: a nota está abaixo da média da turma.
    • O valor absoluto |z_i| conta quantos desvios-padrão a nota se afasta da média. Por exemplo, z=1 significa “uma unidade de desvio-padrão acima da média”.
  • Método para responder (passo a passo):
    1. Calcular z em matemática usando x_{\text{M}},\,\bar{x}_{\text{M}},\,s_{\text{M}}.
    2. Calcular z em física usando x_{\text{F}},\,\bar{x}_{\text{F}},\,s_{\text{F}}.
    3. Comparar os dois z: o maior z indica o melhor desempenho relativo.
Um exemplo simples para fixar (fora do problema): se um colega tem z=1,5 em uma prova e outro tem z=0,8, o colega com z=1,5 foi melhor em relação à sua turma porque está mais desvios-padrão acima da média.

Passo 3

Cálculo do escore padronizado em matemática no cenário original.
Aplicamos a fórmula:
z_{\text{M}}=\frac{x_{\text{M}}-\bar{x}_{\text{M}}}{s_{\text{M}}}.
Substituindo os números que nos deram:
z_{\text{M}}=\frac{8,4-7,6}{1,0}=\frac{0,8}{1,0}=0,8.
Interpretação imediata: a nota 8,4 está 0,8 desvios-padrão acima da média da turma em matemática.

Passo 4

Cálculo do escore padronizado em física no cenário original.
Usando a mesma fórmula:
z_{\text{F}}=\frac{x_{\text{F}}-\bar{x}_{\text{F}}}{s_{\text{F}}}.
Substituindo:
z_{\text{F}}=\frac{9,0-8,2}{1,6}=\frac{0,8}{1,6}=0,5.
Interpretação: a nota 9,0 está 0,5 desvios-padrão acima da média da turma em física.

Passo 5

Comparação dos resultados do cenário original (parte a).
  • Encontramos z_{\text{M}}=0,8 e z_{\text{F}}=0,5.
  • Como 0,8>0,5, a posição relativa do aluno é melhor em matemática (ele está mais desvios-padrão acima da média em matemática do que em física).

Passo 6

Agora fazemos a parte (b): recalcular os escores com as novas médias \bar{x}'_{\text{M}}=8,7 e \bar{x}'_{\text{F}}=9,3. Mantemos os desvios-padrão s_{\text{M}}=1,0 e s_{\text{F}}=1,6.
Cálculo em matemática com a nova média:
z'_{\text{M}}=\frac{x_{\text{M}}-\bar{x}'_{\text{M}}}{s_{\text{M}}}=\frac{8,4-8,7}{1,0}=\frac{-0,3}{1,0}=-0,3.
Interpretação: agora a nota 8,4 fica 0,3 desvios-padrão abaixo da média da turma em matemática.

Passo 7

Cálculo em física com a nova média:
z'_{\text{F}}=\frac{x_{\text{F}}-\bar{x}'_{\text{F}}}{s_{\text{F}}}=\frac{9,0-9,3}{1,6}=\frac{-0,3}{1,6}=-0,1875\approx-0,19.
Interpretação: a nota 9,0 fica cerca de 0,19 desvios-padrão abaixo da média da turma em física.

Passo 8

Comparação no segundo cenário (parte b).
  • Encontramos z'_{\text{M}}=-0,3 e z'_{\text{F}}\approx-0,19.
  • Ambos os escores são negativos, ou seja, em ambas as disciplinas o aluno estaria abaixo da nova média da turma.
  • Como -0,19>-0,3 (ou, em termos absolutos, 0,19<0,3), o desempenho relativo é melhor em física no segundo cenário — ele está menos abaixo da média em física do que em matemática.

Passo 9

Recapitulando de forma curta e prática (para decorar a técnica para prova):
  • Sempre calcule z com \;z=(\text{nota}-\text{média})/(\text{desvio})\;é.
  • Compare os z: maior z → melhor desempenho relativo; sinal positivo → acima da média; sinal negativo → abaixo da média.
  • Faça as subtrações primeiro (nota menos média), depois divida pelo desvio-padrão. Não confunda ordem: é sempre x-\bar{x} no numerador.

Resposta

(a) Matemática, pois z_{\text{M}}=0,8 e z_{\text{F}}=0,5.
(b) Com as novas médias: z'_{\text{M}}=-0,3 e z'_{\text{F}}\approx-0,19; o aluno ficaria abaixo da média em ambas as disciplinas, mas relativamente se sairia melhor em física (porque -0,19>-0,3).

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