Objetivo: Prever o número de vendas com base no valor do investimento em anúncios.
Dados:
- Investimento (mil R$): 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14
- Vendas (unidades): 40, 50, 60, 70, 80, 95, 105, 115, 130, 140
- Investimento em anúncios (independente)
- Vendas (dependente)
- Crie um gráfico de dispersõo entre o Investimento e as Vendas.
- Ajuste o modelo de regressăo linear para prever as vendas com base no valor investido em anúncios.
- Calcule a equaçõo da reta: Vendas
Investimento
- Avalie a qualidade do modelo com o coeficiente de determinação
.
- Faça previsões para novos valores de investimento.
Dados:
Passo 1
O que o problema dá (dados que recebi):
- Investimento (mil R$):
. - Vendas (unidades):
. - A variável independente é o Investimento e a dependente é Vendas.
O que o enunciado pede (tarefas claras):
- Criar um gráfico de dispersão entre Investimento e Vendas.
- Ajustar um modelo de regressão linear simples para prever Vendas a partir do Investimento.
- Calcular a equação da reta
. - Avaliar a qualidade do modelo com o coeficiente de determinação
. - Fazer previsões para novos valores de investimento (vou mostrar como e dar exemplos).
Passo 2
Como criar o gráfico de dispersão (passo-a-passo e código pronto).
- Ideia: plotar pontos
e, depois de ajustar, desenhar também a reta ajustada para visualização. - Código Python (matplotlib) para gerar o scatter e a reta do ajuste (copie e execute num Jupyter, Colab ou script Python):
- Interpretação visual (sem rodar o código aqui): os pontos formam uma tendência crescente quase linear — quanto maior o investimento, maiores as vendas.
Passo 3
Explicando a regressão linear por mínimos quadrados (aulas práticas, passo a passo).
- Objetivo: achar
e que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos. - Fórmulas usadas (fórmulas básicas do método dos mínimos quadrados):
onde:
-
é o -ésimo investimento, -
é a -ésima venda, -
é a média dos investimentos, -
é a média das vendas, -
é o número de observações (aqui ).
Vou calcular tudo manualmente e mostrar os passos de conta para você poder reproduzir na prova.
Passo 4
Cálculo das médias (mostrando as contas):
- Soma dos investimentos:
.
- Soma das vendas:
.
Passo 5
Cálculo de
e
.
- Vou montar a conta ponto a ponto (mostrando
, , produto e quadrado):
- Soma dos produtos:
- Soma dos quadrados de
:
Passo 6
Cálculo de
e
com as somas obtidas:
- Interpretação prática: a cada aumento de
(mil R$) no investimento espera-se, em média, um aumento de cerca de vendas; com investimento zero o modelo extrapola para cerca de vendas (valor sem sentido prático, mas normal em extrapolações).
Passo 7
Equação final da reta ajustada (forma pedida):
Substituindo os valores:
em aproximação decimal:
Passo 8
Avaliação do ajuste com o coeficiente de determinação
(o que é e como calcular).
- Definição (fórmula prática):
onde
- Cálculo de
(já temos os do Passo 5; agora os quadrados e soma):
- Cálculo de
:
- Cálculo de
:
- Finalmente
:
- Interpretação intuitiva e amigável:
significa que cerca de da variação das vendas é explicada pela variação no investimento segundo este modelo linear — um ajuste muito bom (atenção: isso não prova causalidade e cuidado com extrapolações fora da faixa observada).
Passo 9
Como fazer previsões e exemplos numéricos (mostrando as contas passo a passo).
- Fórmula de previsão para um novo investimento
:
- Exemplos (vou prever para
(interpolação), (pequena extrapolação) e (extrapolação maior)).
Cálculo para
:
Cálculo para
:
Cálculo para
:
- Dica prática na prova: use a fórmula direta e calcule com cuidado as multiplicações e subtrações; para maior precisão use frações se necessário (
e ).
Passo 10
Resumo prático — o que você entrega na prova e como justificar rapidamente:
- Mostrar o gráfico de dispersão com a reta ajustada (código ou desenho).
- Mostrar as médias
e . - Mostrar os cálculos de
e . - Mostrar
e e escrever a equação final. - Calcular
e comentar que indica ajuste excelente. - Fazer previsões com a fórmula; sempre avisar sobre risco de extrapolação se for fora da faixa
– .
Resposta
- Gráfico de dispersão: pontos
. (Código para gerar o gráfico fornecido no Passo 2.) - Modelo ajustado (regressão linear simples):
. - Equação da reta:
. - Coeficiente de determinação:
(ou ). - Exemplos de previsões: para
unidades; para unidades; para unidades.