Objetivo: Prever o número de vendas com base no valor do investimento em anúncios.
Dados:
  • Investimento (mil R$): 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14
  • Vendas (unidades): 40, 50, 60, 70, 80, 95, 105, 115, 130, 140
  • Investimento em anúncios (independente)
  • Vendas (dependente)
  1. Crie um gráfico de dispersõo entre o Investimento e as Vendas.
  2. Ajuste o modelo de regressăo linear para prever as vendas com base no valor investido em anúncios.
  3. Calcule a equaçõo da reta: Vendas =\beta_{0}+\beta_{1} \times Investimento
  4. Avalie a qualidade do modelo com o coeficiente de determinação \boldsymbol{R}^{2}.
  5. Faça previsões para novos valores de investimento.

Passo 1

O que o problema dá (dados que recebi):
  • Investimento (mil R$): 5,6,7,8,9,10,11,12,13,14.
  • Vendas (unidades): 40,50,60,70,80,95,105,115,130,140.
  • A variável independente é o Investimento e a dependente é Vendas.
O que o enunciado pede (tarefas claras):
  1. Criar um gráfico de dispersão entre Investimento e Vendas.
  2. Ajustar um modelo de regressão linear simples para prever Vendas a partir do Investimento.
  3. Calcular a equação da reta \text{Vendas} = \beta_{0} + \beta_{1}\times\text{Investimento}.
  4. Avaliar a qualidade do modelo com o coeficiente de determinação \boldsymbol{R}^{2}.
  5. Fazer previsões para novos valores de investimento (vou mostrar como e dar exemplos).

Passo 2

Como criar o gráfico de dispersão (passo-a-passo e código pronto).
  • Ideia: plotar pontos (\text{Investimento}_i,\\ \text{Vendas}_i) e, depois de ajustar, desenhar também a reta ajustada para visualização.
  • Código Python (matplotlib) para gerar o scatter e a reta do ajuste (copie e execute num Jupyter, Colab ou script Python):
\begin{aligned} \text{import numpy as np}\\\ \text{import matplotlib.pyplot as plt}\\\ x = \text{np.array}([5,6,7,8,9,10,11,12,13,14])\\\ y = \text{np.array}([40,50,60,70,80,95,105,115,130,140])\\\ \\\ \# scatter\\\ \text{plt.scatter}(x,y, color='blue')\\\ \text{plt.xlabel}('Investimento\\\ (mil\\\ R\$)')\\\ \text{plt.ylabel}('Vendas\\\ (unidades)')\\\ \text{plt.title}('Dispersão: Investimento vs Vendas')\\\ \\\ \# ajuste simples usando numpy.polyfit para linha\\\ \beta_1,\beta_0 = \text{np.polyfit}(x,y,1) \# retorna [slope, intercept]\\\ \\\ \# desenhar reta\\\ x_line = \text{np.linspace}(5,20,100)\\\ y_line = \beta_0 + \beta_1*x_line\\\ \text{plt.plot}(x_line,y_line,color='red',linewidth=2)\\\ \text{plt.show}() \end{aligned}ã
  • Interpretação visual (sem rodar o código aqui): os pontos formam uma tendência crescente quase linear — quanto maior o investimento, maiores as vendas.

Passo 3

Explicando a regressão linear por mínimos quadrados (aulas práticas, passo a passo).
  • Objetivo: achar \beta_{0} e \beta_{1} que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos.
  • Fórmulas usadas (fórmulas básicas do método dos mínimos quadrados):
\beta_{1} = \dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}}
\beta_{0} = \bar{y} - \beta_{1}\bar{x}
onde:
  • x_i é o i-ésimo investimento,
  • y_i é a i-ésima venda,
  • \bar{x} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i é a média dos investimentos,
  • \bar{y} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i é a média das vendas,
  • n é o número de observações (aqui n=10).
Vou calcular tudo manualmente e mostrar os passos de conta para você poder reproduzir na prova.

Passo 4

Cálculo das médias (mostrando as contas):
  • Soma dos investimentos: 5+6+7+8+9+10+11+12+13+14=95.
\bar{x}=\dfrac{95}{10}=9{,}5
  • Soma das vendas: 40+50+60+70+80+95+105+115+130+140=885.
\bar{y}=\dfrac{885}{10}=88{,}5

Passo 5

Cálculo de S_{xy}=\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) e S_{xx}=\sum (x_i-\bar{x})^{2}.
  • Vou montar a conta ponto a ponto (mostrando x_i-\bar{x}, y_i-\bar{y}, produto e quadrado):
\begin{array}{cccc} x_i & x_i-\bar{x} & y_i-\bar{y} & (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) \\\ \hline 5 & -4{,}5 & -48{,}5 & 218{,}25\\\\ 6 & -3{,}5 & -38{,}5 & 134{,}75\\\\ 7 & -2{,}5 & -28{,}5 & 71{,}25\\\\ 8 & -1{,}5 & -18{,}5 & 27{,}75\\\\ 9 & -0{,}5 & -8{,}5 & 4{,}25\\\\ 10 & 0{,}5 & 6{,}5 & 3{,}25\\\\ 11 & 1{,}5 & 16{,}5 & 24{,}75\\\\ 12 & 2{,}5 & 26{,}5 & 66{,}25\\\\ 13 & 3{,}5 & 41{,}5 & 145{,}25\\\\ 14 & 4{,}5 & 51{,}5 & 231{,}75\\\ \end{array}
  • Soma dos produtos:
S_{xy} = 218{,}25 + 134{,}75 + 71{,}25 + 27{,}75 + 4{,}25 + 3{,}25 + 24{,}75 + 66{,}25 + 145{,}25 + 231{,}75 = 927{,}5
  • Soma dos quadrados de x:
\begin{array}{c} (x_i-\bar{x})^{2}:\\\ 20{,}25,\\\ 12{,}25,\\\ 6{,}25,\\\ 2{,}25,\\\ 0{,}25,\\\ 0{,}25,\\\ 2{,}25,\\\ 6{,}25,\\\ 12{,}25,\\\ 20{,}25 \end{array}
S_{xx} = 20{,}25 + 12{,}25 + 6{,}25 + 2{,}25 + 0{,}25 + 0{,}25 + 2{,}25 + 6{,}25 + 12{,}25 + 20{,}25 = 82{,}5

Passo 6

Cálculo de \beta_{1} e \beta_{0} com as somas obtidas:
\beta_{1} = \dfrac{S_{xy}}{S_{xx}} = \dfrac{927{,}5}{82{,}5} = \dfrac{1855}{165} = \dfrac{371}{33} \approx 11{,}242424
\beta_{0} = \bar{y} - \beta_{1}\bar{x} = 88{,}5 - \left(\dfrac{371}{33}\right)\cdot 9{,}5 = \dfrac{177}{2} - \dfrac{7049}{66} = -\dfrac{604}{33} \approx -18{,}303030
  • Interpretação prática: a cada aumento de 1 (mil R$) no investimento espera-se, em média, um aumento de cerca de 11{,}24 vendas; com investimento zero o modelo extrapola para cerca de -18{,}30 vendas (valor sem sentido prático, mas normal em extrapolações).

Passo 7

Equação final da reta ajustada (forma pedida):
\text{Vendas} = \beta_{0} + \beta_{1}\times\text{Investimento}
Substituindo os valores:
\text{Vendas} = -\dfrac{604}{33} + \dfrac{371}{33}\times\text{Investimento}
em aproximação decimal:
\text{Vendas} \approx -18{,}303030 + 11{,}242424\times\text{Investimento}

Passo 8

Avaliação do ajuste com o coeficiente de determinação R^{2} (o que é e como calcular).
  • Definição (fórmula prática):
R^{2} = \dfrac{\text{SSR}}{\text{SST}} = 1 - \dfrac{\text{SSE}}{\text{SST}}
onde
\text{SST} = \sum_{i}(y_i-\bar{y})^{2},\quad \text{SSR} = \beta_{1}\,S_{xy},\quad \text{SSE} = \text{SST}-\text{SSR}.
  • Cálculo de \text{SST} (já temos os y_i-\bar{y} do Passo 5; agora os quadrados e soma):
\text{SST} = 2352{,}25 + 1482{,}25 + 812{,}25 + 342{,}25 + 72{,}25 + 42{,}25 + 272{,}25 + 702{,}25 + 1722{,}25 + 2652{,}25 = 10452{,}5
  • Cálculo de \text{SSR}:
\text{SSR} = \beta_{1}\,S_{xy} = \left(\dfrac{927{,}5}{82{,}5}\right)\cdot 927{,}5 = \dfrac{927{,}5^{2}}{82{,}5} = \dfrac{688205}{66} \approx 10427{,}348485
  • Cálculo de \text{SSE}:
\text{SSE} = \text{SST} - \text{SSR} \approx 10452{,}5 - 10427{,}348485 = 25{,}151515
  • Finalmente R^{2}:
R^{2} = \dfrac{10427{,}348485}{10452{,}5} \approx 0{,}9976
  • Interpretação intuitiva e amigável: R^{2}\approx 0{,}9976 significa que cerca de 99{,}76\% da variação das vendas é explicada pela variação no investimento segundo este modelo linear — um ajuste muito bom (atenção: isso não prova causalidade e cuidado com extrapolações fora da faixa observada).

Passo 9

Como fazer previsões e exemplos numéricos (mostrando as contas passo a passo).
  • Fórmula de previsão para um novo investimento x^{*}:
\hat{y} = \beta_{0} + \beta_{1}\,x^{*}
  • Exemplos (vou prever para x^{*}=7{,}5 (interpolação), x^{*}=15 (pequena extrapolação) e x^{*}=20 (extrapolação maior)).
Cálculo para x^{*}=7{,}5:
\hat{y} = -18{,}303030 + 11{,}242424\times 7{,}5 = -18{,}303030 + 84{,}318182 = 66{,}015152 \approx 66{,}02\\ \text{unidades}
Cálculo para x^{*}=15:
\hat{y} = -18{,}303030 + 11{,}242424\times 15 = -18{,}303030 + 168{,}636364 = 150{,}333334 \approx 150{,}33\\ \text{unidades}
Cálculo para x^{*}=20:
\hat{y} = -18{,}303030 + 11{,}242424\times 20 = -18{,}303030 + 224{,}84848 = 206{,}54545 \approx 206{,}55\\ \text{unidades}
  • Dica prática na prova: use a fórmula direta e calcule com cuidado as multiplicações e subtrações; para maior precisão use frações se necessário ( \beta_1=\tfrac{371}{33} e \beta_0=-\tfrac{604}{33}).

Passo 10

Resumo prático — o que você entrega na prova e como justificar rapidamente:
  • Mostrar o gráfico de dispersão com a reta ajustada (código ou desenho).
  • Mostrar as médias \bar{x}=9{,}5 e \bar{y}=88{,}5.
  • Mostrar os cálculos de S_{xy}=927{,}5 e S_{xx}=82{,}5.
  • Mostrar \beta_1=\dfrac{371}{33} e \beta_0=-\dfrac{604}{33} e escrever a equação final.
  • Calcular R^{2} e comentar que R^{2}\approx 0{,}9976 indica ajuste excelente.
  • Fazer previsões com a fórmula; sempre avisar sobre risco de extrapolação se for fora da faixa 5 14.

Resposta

  1. Gráfico de dispersão: pontos (5,40),(6,50),(7,60),(8,70),(9,80),(10,95),(11,105),(12,115),(13,130),(14,140). (Código para gerar o gráfico fornecido no Passo 2.)
  2. Modelo ajustado (regressão linear simples): \widehat{\text{Vendas}} = \beta_{0} + \beta_{1}\times\text{Investimento}.
  3. Equação da reta: \displaystyle \text{Vendas} = -\dfrac{604}{33} + \dfrac{371}{33}\times\text{Investimento} \approx -18{,}303030 + 11{,}242424\times\text{Investimento}.
  4. Coeficiente de determinação: \displaystyle R^{2} \approx 0{,}9976 (ou 99{,}76\%).
  5. Exemplos de previsões: para \text{Investimento}=7{,}5\Rightarrow \widehat{\text{Vendas}}\approx 66{,}02 unidades; para \text{Investimento}=15\Rightarrow \widehat{\text{Vendas}}\approx 150{,}33 unidades; para \text{Investimento}=20\Rightarrow \widehat{\text{Vendas}}\approx 206{,}55 unidades.

Exercícios relacionados