Objetivo: Prever o consumo de energia com base na temperatura externa.
Dados:
- Temperatura
: 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28
Consumo (kWh): 120, 130, 140, 160, 180, 190, 200, 210, 230, 240
- Iemperatura (independente)
- Consumo de energia (dependente)
- Crie um gráfico de dispersão entre Temperatura e Consumo de energia.
- Ajuste o modelo de regressäo linear para prever o consumo com base na temperatura.
- Calcule a equação da reta: Consumo
Temperatura
- Calcule o coeficiente de determinação
e analise o ajuste do modelo.
- Faça previsóes para temperaturas fora do intervalo dos dados.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (resumido, com os números que vieram no enunciado):
- Dados (peguei estes números do enunciado):
- Temperatura (variável independente)
(graus Celsius). - Consumo (variável dependente)
(kWh).
- Temperatura (variável independente)
- Perguntas:
- Criar um gráfico de dispersão entre Temperatura e Consumo.
- Ajustar um modelo de regressão linear simples para prever consumo a partir da temperatura.
- Calcular a equação da reta
. - Calcular o coeficiente de determinação
e analisar o ajuste. - Fazer previsões para temperaturas fora do intervalo dos dados (extrapolação) e comentar confiabilidade.
Passo 2
Gráfico de dispersão (como fazer e o que se observa).
- Como criar: plotar cada par
como um ponto no plano cartesiano com eixo horizontal = Temperatura e eixo vertical = Consumo. Os pontos são:
. - O que se vê (descrição da nuvem de pontos): os pontos formam uma nuvem que sobe quando a temperatura aumenta — isto é, há uma relação linear positiva clara entre temperatura e consumo.
- Interpretação prática: já à vista temos razão para ajustar uma reta (modelo linear) porque os pontos parecem seguir aproximadamente uma linha.
Passo 3
Ajuste do modelo de regressão linear (explicando a teoria e fazendo as contas passo a passo).
- Ideia e fórmulas usadas (OLS — mínimos quadrados):
- Queremos estimar
e que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos. - As fórmulas fechadas para os estimadores são:
- Aqui
é a média das temperaturas e é a média dos consumos.
- Queremos estimar
- Calcular médias:
- Número de observações
. - Soma das temperaturas:
, então . - Soma dos consumos:
, então .
- Número de observações
- Calcular os somatórios necessários (explicando cada um):
-
. Então a variância somada centrada: Em notação compacta, este é o denominador para e chamamos de . -
. Então a covariância somada centrada: Chamamos isto de .
-
- Calcular
e :
- Interpretação dos coeficientes (didática):
-
significa que, segundo o modelo, para cada aumento de na temperatura espera-se um aumento médio de kWh no consumo. -
é o valor previsto de consumo quando a temperatura é (intercepto). Em muitos casos o intercepto não tem significado físico perfeito, mas é parte da equação da reta.
-
Passo 4
Cálculo do coeficiente de determinação
e análise do ajuste (explicando a teoria).
- Fórmula e ideia:
-
mede a fração da variabilidade total da resposta explicada pelo modelo linear. - Pode ser calculado por
-
- Calculando
: -
. Então
-
- Calcular
: - Interpretação didática do valor:
-
significa que cerca de da variabilidade do consumo nos dados é explicada pela variação da temperatura pelo modelo linear simples. Isso indica um ajuste muito bom. - Observação prática: apesar do
alto, sempre verifique gráficos de resíduos em análise real; aqui os dados já mostraram forte tendência linear, então o alto é coerente.
-
Passo 5
Previsões para temperaturas fora do intervalo dos dados e comentários sobre extrapolação.
- Regra de previsão (usar a reta estimada):
Números aproximados: . - Exemplos de previsões fora do intervalo
(faço duas previsões ilustrativas): - Para
(acima do máximo observado): - Para
(abaixo do mínimo observado):
- Para
- Comentário sobre confiabilidade:
- Essas previsões são extrapolações (fora do intervalo de dados). Extrapolar assume que a relação linear que vimos se mantém além dos dados observados — isso pode ser verdade ou não no mundo real. Portanto:
- As previsões extrapoladas têm maior incerteza que previsões dentro do intervalo.
- Sempre que possível, obter dados adicionais nessas regiões ou usar conhecimento físico do problema para validar a linearidade é recomendável.
- Essas previsões são extrapolações (fora do intervalo de dados). Extrapolar assume que a relação linear que vimos se mantém além dos dados observados — isso pode ser verdade ou não no mundo real. Portanto:
Resposta
Gráfico de dispersão: pontos
; tendência linear positiva.\n
Equação da reta estimada: , com
e
.\n
Coeficiente de determinação: — ajuste muito bom (aprox.
da variabilidade explicada).\n
Previsões fora do intervalo (exemplos): ;
. (Atenção: são extrapolações e têm maior incerteza.)
Equação da reta estimada:
Coeficiente de determinação:
Previsões fora do intervalo (exemplos):