Objetivo: Prever o consumo de energia com base na temperatura externa.
Dados:
  • Temperatura \left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) : 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28
Consumo (kWh): 120, 130, 140, 160, 180, 190, 200, 210, 230, 240
  • Iemperatura (independente)
  • Consumo de energia (dependente)
  1. Crie um gráfico de dispersão entre Temperatura e Consumo de energia.
  2. Ajuste o modelo de regressäo linear para prever o consumo com base na temperatura.
  3. Calcule a equação da reta: Consumo =\beta_{0}+\beta_{1} \times Temperatura
  4. Calcule o coeficiente de determinação \boldsymbol{R}^{2} e analise o ajuste do modelo.
  5. Faça previsóes para temperaturas fora do intervalo dos dados.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (resumido, com os números que vieram no enunciado):
  • Dados (peguei estes números do enunciado):
    • Temperatura (variável independente) \,x:\;10,\;12,\;14,\;16,\;18,\;20,\;22,\;24,\;26,\;28\, (graus Celsius).
    • Consumo (variável dependente) \,y:\;120,\;130,\;140,\;160,\;180,\;190,\;200,\;210,\;230,\;240\, (kWh).
  • Perguntas:
    1. Criar um gráfico de dispersão entre Temperatura e Consumo.
    2. Ajustar um modelo de regressão linear simples para prever consumo a partir da temperatura.
    3. Calcular a equação da reta \text{Consumo}=\beta_{0}+\beta_{1}\times\text{Temperatura}.
    4. Calcular o coeficiente de determinação R^{2} e analisar o ajuste.
    5. Fazer previsões para temperaturas fora do intervalo dos dados (extrapolação) e comentar confiabilidade.

Passo 2

Gráfico de dispersão (como fazer e o que se observa).
  • Como criar: plotar cada par (x,y) como um ponto no plano cartesiano com eixo horizontal = Temperatura e eixo vertical = Consumo. Os pontos são:
    \,(10,120),\,(12,130),\,(14,140),\,(16,160),\,(18,180),\,(20,190),\,(22,200),\,(24,210),\,(26,230),\,(28,240).
  • O que se vê (descrição da nuvem de pontos): os pontos formam uma nuvem que sobe quando a temperatura aumenta — isto é, há uma relação linear positiva clara entre temperatura e consumo.
  • Interpretação prática: já à vista temos razão para ajustar uma reta (modelo linear) porque os pontos parecem seguir aproximadamente uma linha.

Passo 3

Ajuste do modelo de regressão linear (explicando a teoria e fazendo as contas passo a passo).
  • Ideia e fórmulas usadas (OLS — mínimos quadrados):
    • Queremos estimar \beta_{0} e \beta_{1} que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos.
    • As fórmulas fechadas para os estimadores são: \beta_{1}=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}} \qquad\text{e}\qquad \beta_{0}=\bar{y}-\beta_{1}\bar{x}.
    • Aqui \bar{x} é a média das temperaturas e \bar{y} é a média dos consumos.
  • Calcular médias:
    • Número de observações n=10.
    • Soma das temperaturas: \sum x_{i}=190, então \bar{x}=\dfrac{190}{10}=19.
    • Soma dos consumos: \sum y_{i}=1800, então \bar{y}=\dfrac{1800}{10}=180.
  • Calcular os somatórios necessários (explicando cada um):
    • \sum x_{i}^{2}=3940. Então a variância somada centrada: \sum_{i}(x_{i}-\bar{x})^{2}=\sum x_{i}^{2}-n\bar{x}^{2}=3940-10\cdot19^{2}=3940-3610=330.Em notação compacta, este é o denominador para \beta_{1} e chamamos de S_{xx}=330.
    • \sum x_{i}y_{i}=36460. Então a covariância somada centrada: \sum_{i}(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})=\sum x_{i}y_{i}-n\bar{x}\bar{y}=36460-10\cdot19\cdot180=36460-34200=2260.Chamamos isto de S_{xy}=2260.
  • Calcular \beta_{1} e \beta_{0}: \beta_{1}=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}=\frac{2260}{330}=\frac{226}{33}\approx6{,}8485.
\beta_{0}=\bar{y}-\beta_{1}\bar{x}=180-\frac{226}{33}\cdot19=\frac{1646}{33}\approx49{,}8788.
  • Interpretação dos coeficientes (didática):
    • \beta_{1}\approx6{,}85 significa que, segundo o modelo, para cada aumento de 1^\circ\mathrm{C} na temperatura espera-se um aumento médio de \approx6{,}85 kWh no consumo.
    • \beta_{0}\approx49{,}88 é o valor previsto de consumo quando a temperatura é 0^\circ\mathrm{C} (intercepto). Em muitos casos o intercepto não tem significado físico perfeito, mas é parte da equação da reta.

Passo 4

Cálculo do coeficiente de determinação R^{2} e análise do ajuste (explicando a teoria).
  • Fórmula e ideia:
    • R^{2} mede a fração da variabilidade total da resposta explicada pelo modelo linear.
    • Pode ser calculado por R^{2}=\frac{\left(\sum_{i}(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})\right)^{2}}{\left(\sum_{i}(x_{i}-\bar{x})^{2}\right)\left(\sum_{i}(y_{i}-\bar{y})^{2}\right)} =\frac{S_{xy}^{2}}{S_{xx}\,S_{yy}}.
  • Calculando S_{yy}:
    • \sum y_{i}^{2}=339600. Então S_{yy}=\sum_{i}(y_{i}-\bar{y})^{2}=\sum y_{i}^{2}-n\bar{y}^{2}=339600-10\cdot180^{2}=339600-324000=15600.
  • Calcular R^{2}: R^{2}=\frac{2260^{2}}{330\cdot15600}=\frac{5107600}{5148000}\approx0{,}9921\\ (\text{aprox. }0{,}992).
  • Interpretação didática do valor:
    • R^{2}\approx0{,}992 significa que cerca de 99{,}2\% da variabilidade do consumo nos dados é explicada pela variação da temperatura pelo modelo linear simples. Isso indica um ajuste muito bom.
    • Observação prática: apesar do R^{2} alto, sempre verifique gráficos de resíduos em análise real; aqui os dados já mostraram forte tendência linear, então o alto R^{2} é coerente.

Passo 5

Previsões para temperaturas fora do intervalo dos dados e comentários sobre extrapolação.
  • Regra de previsão (usar a reta estimada): \hat{y}=\beta_{0}+\beta_{1}x=\frac{1646}{33}+\frac{226}{33}\,x.Números aproximados: \hat{y}\approx49{,}8788+6{,}8485\,x.
  • Exemplos de previsões fora do intervalo x\in[10,28] (faço duas previsões ilustrativas):
    • Para x=32^\circ\mathrm{C} (acima do máximo observado): \hat{y}(32)=\frac{1646+226\cdot32}{33}=\frac{8878}{33}\approx269{,}333\\ \text{kWh}.
    • Para x=6^\circ\mathrm{C} (abaixo do mínimo observado): \hat{y}(6)=\frac{1646+226\cdot6}{33}=\frac{3002}{33}\approx90{,}970\\ \text{kWh}.
  • Comentário sobre confiabilidade:
    • Essas previsões são extrapolações (fora do intervalo de dados). Extrapolar assume que a relação linear que vimos se mantém além dos dados observados — isso pode ser verdade ou não no mundo real. Portanto:
      • As previsões extrapoladas têm maior incerteza que previsões dentro do intervalo.
      • Sempre que possível, obter dados adicionais nessas regiões ou usar conhecimento físico do problema para validar a linearidade é recomendável.

Resposta

Gráfico de dispersão: pontos (10,120),\,(12,130),\,(14,140),\,(16,160),\,(18,180),\,(20,190),\,(22,200),\,(24,210),\,(26,230),\,(28,240); tendência linear positiva.\n
Equação da reta estimada: \displaystyle\widehat{\text{Consumo}}=\beta_{0}+\beta_{1}\times\text{Temperatura}, com \beta_{0}=\dfrac{1646}{33}\approx49{,}8788 e \beta_{1}=\dfrac{226}{33}\approx6{,}8485.\n
Coeficiente de determinação: R^{2}\approx0{,}992 — ajuste muito bom (aprox. 99{,}2\% da variabilidade explicada).\n
Previsões fora do intervalo (exemplos): \hat{y}(32^\circ\mathrm{C})\approx269{,}33\\ \text{kWh}; \hat{y}(6^\circ\mathrm{C})\approx90{,}97\\ \text{kWh}. (Atenção: são extrapolações e têm maior incerteza.)

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