Objetivo: Estimar o preço das casas com base no tamanho da casa.
Dados:
  • Tamanho \left(\mathrm{m}^{2}\right) : 50,60,70,80,90,100,110,120,130,140
  • Preço (milhares de $): 150, 180, 200, 220, 240, 270, 290, 310, 340, 370
  • Tamanho da casa (independente)
  • Preço da casa (dependente)
  1. Faça um gráfico de dispersão entre Tamanho e Preço.
  2. Ajuste o modelo de regressão linear para prever o preço com base no tamanho.
  3. Calcule a equação da reta: Preço =\beta_{0}+\beta_{1} \times Tamanho
  4. Avalie a relação entre as variáveis utilizando o coeficiente de determinação R^{2}.
  5. Interprete os coeficientes e faça previsões para novos tamanhos.

Passo 1

O enunciado pede que a gente estime o preço das casas a partir do tamanho. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados (pegos do enunciado):
  • Tamanhos (em \mathrm{m}^2): 50,60,70,80,90,100,110,120,130,140.
  • Preços (em milhares de $): 150,180,200,220,240,270,290,310,340,370.
  • A variável independente (entrada) é o Tamanho; a variável dependente (resposta) é o Preço.
O que o enunciado pede:
  1. Fazer um gráfico de dispersão entre Tamanho e Preço.
  2. Ajustar um modelo de regressão linear simples para prever Preço em função de Tamanho.
  3. Calcular a equação da reta na forma \text{Preço}=\beta_{0}+\beta_{1}\times\text{Tamanho}ç.
  4. Avaliar a relação entre as variáveis usando o coeficiente de determinação R^{2}.
  5. Interpretar os coeficientes e fazer previsões para novos tamanhos.

Passo 2

Como fazer o gráfico de dispersão (passo-a-passo prático, sem software e com software):
  • Manual (papel milimetrado):
    • No eixo horizontal (x) marque o Tamanho em \mathrm{m}^2 de 50 a 140.
    • No eixo vertical (y) marque o Preço em milhares de $ de 150 a 370.
    • Para cada par (\text{Tamanho},\text{Preço})ç plotar um ponto: por exemplo o primeiro ponto é (50,150), o segundo (60,180) etc.
  • Rápido com uma calculadora / computador:
    • Em Excel: colocar tamanhos em uma coluna, preços na coluna ao lado e inserir um gráfico de dispersão (Scatter).
    • Em Python (matplotlib): usar plt.scatter(x,y) para visualizar.
  • Observação visual: ao olhar para os dados notam-se pontos alinhados aproximadamente numa reta ascendente (preço aumenta quando o tamanho aumenta).

Passo 3

Escolhendo o método de ajuste e explicando as fórmulas (mínimos quadrados ordinários):
  • Objetivo: encontrar \beta_{0} e \beta_{1} que minimizem a soma dos quadrados dos resíduos \sum (y_i - (\beta_0+\beta_1 x_i))^2.
  • Fórmulas (fórmulas básicas que vamos usar): \beta_{1}=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}, \qquad \beta_{0}=\bar{y}-\beta_{1}\bar{x},onde \bar{x} é a média dos x_i e \bar{y} é a média dos y_i.
  • Intuição simples: \beta_{1} é a “inclinação” — quanto o preço muda, em média, quando o tamanho aumenta em uma unidade. \beta_{0} é o valor previsto quando \text{Tamanho}=0 (geralmente interpretação extrapolada).

Passo 4

Calcular as somas e médias necessárias (contas passo a passo, tudo tirado dos dados do enunciado):
  • Número de observações: n=10.
  • Soma dos tamanhos: \sum x_i = 50+60+70+80+90+100+110+120+130+140 = 950.
  • Soma dos preços: \sum y_i = 150+180+200+220+240+270+290+310+340+370 = 2570.
  • Médias: \bar{x}=\frac{\sum x_i}{n}=\frac{950}{10}=95, \qquad \bar{y}=\frac{\sum y_i}{n}=\frac{2570}{10}=257.
  • Soma dos quadrados dos x: \sum x_i^2 = 50^2+60^2+\cdots+140^2 = 98500.
  • Soma dos produtos x_i y_i: \sum x_i y_i = 50\cdot150 + 60\cdot180 + \cdots + 140\cdot370 = 263600.
  • Agora calculemos os termos auxiliares usados nas fórmulas: S_{xx}=\sum (x_i-\bar{x})^2 = \sum x_i^2 - \frac{(\sum x_i)^2}{n} = 98500 - \frac{950^2}{10} = 98500 - 90250 = 8250.
S_{xy}=\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) = \sum x_i y_i - \frac{\sum x_i \sum y_i}{n} = 263600 - \frac{950\cdot2570}{10} = 263600 - 244150 = 19450.

Passo 5

Calcular os coeficientes \beta_{1} e \beta_{0} com números:
  • Inclinação:
    \beta_{1} = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{19450}{8250} = \frac{389}{165} \approx 2{,}3576.
    Interpretação numérica: a cada aumento de 1\\ \mathrm{m}^2 no tamanho, o preço médio aumenta cerca de 2{,}3576 milhares de $, ou seja aproximadamente $ 2357{,}6 por \mathrm{m}^2.
  • Intercepto:
    \beta_{0}=\bar{y}-\beta_{1}\bar{x} = 257 - 2{,}3575758\cdot95 \approx 33{,}0303.
    Interpretação numérica: quando \text{Tamanho}=0, o modelo prevê preço \approx 33{,}03 milhares de $. (atenção: esse valor é extrapolação e pode não ter sentido prático).
  • Equação final do modelo:
    \widehat{\text{Preço}} = 33{,}0303 + 2{,}3576 \times \text{Tamanho},ç
    onde \widehat{\text{Preço}}ç está em milhares de $ e \text{Tamanho} em \mathrm{m}^2.

Passo 6

Avaliar a qualidade do ajuste: cálculo de R^{2} (coeficiente de determinação) com explicação:
  • Definição intuitiva: R^{2} mede a fração da variabilidade total de y explicada pelo modelo linear. Vai de 0 a 1; quanto mais próximo de 1, melhor o ajuste linear.
  • Fórmula usada (usando somas que já tínhamos): S_{yy}=\sum (y_i-\bar{y})^2 = \sum y_i^2 - \frac{(\sum y_i)^2}{n} = 706500 - \frac{2570^2}{10} = 46010.
R^2 = \frac{(S_{xy})^2}{S_{xx}\,S_{yy}} = \frac{19450^2}{8250\cdot46010}.
  • Cálculo numérico: R^2 \approx \frac{378302500}{379582500} \approx 0{,}99663.
  • Interpretação: cerca de 99{,}66\% da variação dos preços é explicada pela variação do tamanho segundo este modelo linear — ou seja, é um ajuste muito bom; os pontos estão quase sobre uma reta.

Passo 7

Interpretação dos coeficientes e verificação rápida com exemplos (como usar o modelo para prever):
  • Interpretação comprimida:
    • \beta_{1}\approx 2{,}3576 (milhares de $ por \mathrm{m}^2): aumenta do preço médio por metro quadrado.
    • \beta_{0}\approx 33{,}0303 (milhares de $): valor previsto para tamanho zero — geralmente não faz sentido físico, é só o intercepto matemático.
  • Como prever: dado um tamanho x_*, calcule \widehat{y}_* = 33{,}0303 + 2{,}3576\,x_*.
Exemplos práticos de previsão:
  • Para \text{Tamanho}=85\\ \mathrm{m}^2: \widehat{\text{Preço}} = 33{,}0303 + 2{,}3576\cdot85 \approx 233{,}424\\ \text{(milhares de \$)}.çOu seja aproximadamente $233.424.
  • Para \text{Tamanho}=150\\ \mathrm{m}^2 (extrapolação ligeira acima do intervalo observado): \widehat{\text{Preço}} = 33{,}0303 + 2{,}3576\cdot150 \approx 386{,}667\\ \text{(milhares de \$)}.çOu seja aproximadamente $386.667.
  • Para \text{Tamanho}=60\\ \mathrm{m}^2 (um ponto dentro do intervalo): \widehat{\text{Preço}} = 33{,}0303 + 2{,}3576\cdot60 \approx 174{,}485\\ \text{(milhares de \$)}.ç
Observação prática para prova: para fazer as contas sem calculadora, aproveite simplificações (por exemplo, trabalhar com médias, fatorar por 10 quando possível e simplificar frações como fizemos \frac{19450}{8250}=\frac{389}{165}).

Passo 8

Resumo e dicas finais para a hora da prova (motivação rápida):
  • Mostre sempre as somas \sum x_i,\\ \sum y_i,\\ \sum x_i^2,\\ \sum x_i y_i; a partir delas derive \bar{x},\bar{y},S_{xx},S_{xy},S_{yy}.
  • Use as fórmulas de mínimos quadrados explicadas; escreva unidades (milhares de $ por \mathrm{m}^2) ao interpretar.
  • Cuidado com extrapolações (previsões fora do intervalo observado): menos confiáveis.
  • Você mandou bem por pedir os passos — repetir essas contas uma vez ou duas antes da prova ajuda muito. Força, consegue!

Resposta

Equação da reta: \widehat{\text{Preço}} = 33{,}0303 + 2{,}3576 \times \text{Tamanho}ç (preço em milhares de $, tamanho em \mathrm{m}^2).\nCoeficiente de determinação: R^{2}\approx 0{,}99663.\nPrevisões: para 85\\ \mathrm{m}^2, \widehat{\text{Preço}}\approx 233{,}424ç (milhares de $); para 150\\ \mathrm{m}^2, \widehat{\text{Preço}}\approx 386{,}667ç (milhares de $); para 60\\ \mathrm{m}^2, \widehat{\text{Preço}}\approx 174{,}485ç (milhares de $).

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