Objetivo: Estimar o preço das casas com base no tamanho da casa.
Dados:
- Tamanho
:
- Preço (milhares de $): 150, 180, 200, 220, 240, 270, 290, 310, 340, 370
- Tamanho da casa (independente)
- Preço da casa (dependente)
- Faça um gráfico de dispersão entre Tamanho e Preço.
- Ajuste o modelo de regressão linear para prever o preço com base no tamanho.
- Calcule a equação da reta: Preço
Tamanho
- Avalie a relação entre as variáveis utilizando o coeficiente de determinação
.
- Interprete os coeficientes e faça previsões para novos tamanhos.
Passo 1
O enunciado pede que a gente estime o preço das casas a partir do tamanho. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados (pegos do enunciado):
- Tamanhos (em
): . - Preços (em milhares de $):
. - A variável independente (entrada) é o Tamanho; a variável dependente (resposta) é o Preço.
O que o enunciado pede:
- Fazer um gráfico de dispersão entre Tamanho e Preço.
- Ajustar um modelo de regressão linear simples para prever Preço em função de Tamanho.
- Calcular a equação da reta na forma
. - Avaliar a relação entre as variáveis usando o coeficiente de determinação
. - Interpretar os coeficientes e fazer previsões para novos tamanhos.
Passo 2
Como fazer o gráfico de dispersão (passo-a-passo prático, sem software e com software):
- Manual (papel milimetrado):
- No eixo horizontal (x) marque o Tamanho em
de a . - No eixo vertical (y) marque o Preço em milhares de $ de
a . - Para cada par
plotar um ponto: por exemplo o primeiro ponto é , o segundo etc.
- No eixo horizontal (x) marque o Tamanho em
- Rápido com uma calculadora / computador:
- Em Excel: colocar tamanhos em uma coluna, preços na coluna ao lado e inserir um gráfico de dispersão (Scatter).
- Em Python (matplotlib): usar plt.scatter(x,y) para visualizar.
- Observação visual: ao olhar para os dados notam-se pontos alinhados aproximadamente numa reta ascendente (preço aumenta quando o tamanho aumenta).
Passo 3
Escolhendo o método de ajuste e explicando as fórmulas (mínimos quadrados ordinários):
- Objetivo: encontrar
e que minimizem a soma dos quadrados dos resíduos . - Fórmulas (fórmulas básicas que vamos usar):
onde é a média dos e é a média dos . - Intuição simples:
é a “inclinação” — quanto o preço muda, em média, quando o tamanho aumenta em uma unidade. é o valor previsto quando (geralmente interpretação extrapolada).
Passo 4
Calcular as somas e médias necessárias (contas passo a passo, tudo tirado dos dados do enunciado):
- Número de observações:
. - Soma dos tamanhos:
- Soma dos preços:
- Médias:
- Soma dos quadrados dos
: - Soma dos produtos
: - Agora calculemos os termos auxiliares usados nas fórmulas:
Passo 5
Calcular os coeficientes
e
com números:
-
Inclinação:Interpretação numérica: a cada aumento de
no tamanho, o preço médio aumenta cerca de milhares de $, ou seja aproximadamente $ por . -
Intercepto:Interpretação numérica: quando
, o modelo prevê preço milhares de $. (atenção: esse valor é extrapolação e pode não ter sentido prático). -
Equação final do modelo:onde
está em milhares de $ e em .
Passo 6
Avaliar a qualidade do ajuste: cálculo de
(coeficiente de determinação) com explicação:
- Definição intuitiva:
mede a fração da variabilidade total de explicada pelo modelo linear. Vai de a ; quanto mais próximo de , melhor o ajuste linear. - Fórmula usada (usando somas que já tínhamos):
- Cálculo numérico:
- Interpretação: cerca de
da variação dos preços é explicada pela variação do tamanho segundo este modelo linear — ou seja, é um ajuste muito bom; os pontos estão quase sobre uma reta.
Passo 7
Interpretação dos coeficientes e verificação rápida com exemplos (como usar o modelo para prever):
- Interpretação comprimida:
-
(milhares de $ por ): aumenta do preço médio por metro quadrado. -
(milhares de $): valor previsto para tamanho zero — geralmente não faz sentido físico, é só o intercepto matemático.
-
- Como prever: dado um tamanho
, calcule .
Exemplos práticos de previsão:
- Para
: Ou seja aproximadamente $233.424. - Para
(extrapolação ligeira acima do intervalo observado): Ou seja aproximadamente $386.667. - Para
(um ponto dentro do intervalo):
Observação prática para prova: para fazer as contas sem calculadora, aproveite simplificações (por exemplo, trabalhar com médias, fatorar por 10 quando possível e simplificar frações como fizemos
).
Passo 8
Resumo e dicas finais para a hora da prova (motivação rápida):
- Mostre sempre as somas
; a partir delas derive . - Use as fórmulas de mínimos quadrados explicadas; escreva unidades (milhares de $ por
) ao interpretar. - Cuidado com extrapolações (previsões fora do intervalo observado): menos confiáveis.
- Você mandou bem por pedir os passos — repetir essas contas uma vez ou duas antes da prova ajuda muito. Força, consegue!
Resposta
Equação da reta:
(preço em milhares de $, tamanho em
).\nCoeficiente de determinação:
.\nPrevisões: para
,
(milhares de $); para
,
(milhares de $); para
,
(milhares de $).