Questão 4. (6pts) Determine os domínios e imagens de
e de
consideramdo as funções:
Passo 1
O enunciado dá duas funções e pede os domínios e as imagens das composições
e
. Dados fornecidos:
Perguntas explicitadas:
- Qual é o domínio de
(ou seja, dos para os quais está definido)? Qual é a imagem de ? - Qual é o domínio de
(ou seja, dos para os quais está definido)? Qual é a imagem de ?
Informações relevantes dadas:
- A função
está definida por . - A função
está definida por , portanto dentro da raiz precisamos de .
A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Entender separadamente domínio e imagem de
e
— isso facilita as composições.
Domínio de
:
Não há raiz quadrada nem divisão por variável: qualquer
é permitido. Logo o domínio de
é
.
Imagem de
:
A expressão é sempre
. Então
A expressão
O valor mínimo
ocorre quando
(pois
). Como
cresce para
quando
, a imagem é todos os valores
. Portanto a imagem de
é
Passo 3
Agora
.
Domínio de
:
Exigimos o radicando não-negativo:
Logo o domínio de
é
.
Imagem de
:
Para temos
. O termo
é, portanto, sempre
(quando
em
, obtemos
). À medida que
,
e então
. Assim
assume todos os valores menores ou iguais a
. Portanto a imagem de
é
Para
Passo 4
Regra geral para composições (explicando a ideia): para
(isto é
), primeiro
tem que estar no domínio de
; depois o valor
tem que estar no domínio de
. Ou seja
Como vimos em Passo 2,
(todos os reais), então a segunda condição é automática: qualquer valor
é aceito por
. Assim
Passo 5
Expressão de
e simplificação (passo a passo):
Primeiro compomos:
Primeiro compomos:
Expandindo com cuidado: seja
. Então
Substituindo
:
Logo uma forma útil é
Passo 6
Imagem de
— pensamento estratégico e construção:
Sabemos que e que o valor
percorre a imagem de
, que é
(Passo 3). Então a imagem de
é o conjunto
Sabemos que
Analise da função
sobre o intervalo
:
-
para todo (mínimo global em com valor ). - Como
, . Portanto atinge todos valores .
É preciso verificar que o valorpertence ao conjunto de atingidos por : resolvendo temos , que está no domínio de . Logo é atingido e o valor mínimo aparece. Conclusão: a imagem de é
Passo 7
Agora
. Aplicamos a mesma regra: para
precisamos que
esteja no domínio de
(que é todo
) e que
esteja no domínio de
. Isto é
Como
, exigimos:
Resolvendo
obtemos
Portanto o domínio de
é
.
Passo 8
Expressão de
e simplificação:
Esta expressão está bem definida exatamente quando
, que coincide com o domínio encontrado no passo anterior. Assim
Passo 9
Imagem de
:
Defina . Sobre o domínio
temos
. Então
Defina
Como
pode crescer arbitrariamente (quando
,
), os valores de
podem atingir arbitrariamente grandes negativos — então a imagem é não limitada inferiormente. O maior valor ocorre para
, que acontece quando
, isto é
. Para
obtemos
. Portanto a imagem é todos os valores
, ou seja
Verificação de atingibilidade: para qualquer
tomamos
e resolvemos
, que dá soluções reais com
, portanto dentro do domínio, garantindo que qualquer
é efetivamente obtido.
Resposta
Domínio de
:
Imagem de :
Imagem de
Domínio de
:
Imagem de :
Imagem de