Questão 4. (6pts) Determine os domínios e imagens de f \circ g=f(g(x)) e de g \circ f=g(f(x)) consideramdo as funções:
f(x)=x^{2}-9 \quad \text { e } \quad g(x)=4-\sqrt{x+5}

Passo 1

O enunciado dá duas funções e pede os domínios e as imagens das composições f\circ g e g\circ f. Dados fornecidos:
f(x)=x^{2}-9
g(x)=4-\sqrt{x+5}
Perguntas explicitadas:
  1. Qual é o domínio de f\circ g (ou seja, dos x para os quais f(g(x)) está definido)? Qual é a imagem de f\circ g?
  2. Qual é o domínio de g\circ f (ou seja, dos x para os quais g(f(x)) está definido)? Qual é a imagem de g\circ f?
Informações relevantes dadas:
  • A função f está definida por f(x)=x^{2}-9.
  • A função g está definida por g(x)=4-\sqrt{x+5}, portanto dentro da raiz precisamos de x+5\ge 0.
    A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Entender separadamente domínio e imagem de f e g — isso facilita as composições.
Domínio de f:
f(x)=x^{2}-9
Não há raiz quadrada nem divisão por variável: qualquer x\in\mathbb{R} é permitido. Logo o domínio de f é \mathbb{R}.
Imagem de f:
A expressão x^{2} é sempre \ge 0. Então
f(x)=x^{2}-9 \ge 0-9 = -9.
O valor mínimo -9 ocorre quando x=0 (pois 0^{2}-9=-9). Como x^{2} cresce para +\infty quando |x|\to\infty, a imagem é todos os valores \ge -9. Portanto a imagem de f é
[-9,\infty).

Passo 3

Agora g.
Domínio de g:
g(x)=4-\sqrt{x+5}
Exigimos o radicando não-negativo:
x+5\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x\ge -5.
Logo o domínio de g é [ -5,\infty).
Imagem de g:
Para x\ge -5 temos \sqrt{x+5}\ge 0. O termo 4-\sqrt{x+5} é, portanto, sempre \le 4 (quando \sqrt{x+5}=0 em x=-5, obtemos 4). À medida que x\to\infty, \sqrt{x+5}\to\infty e então g(x)\to -\infty. Assim g assume todos os valores menores ou iguais a 4. Portanto a imagem de g é
(-\infty,4].

Passo 4

Regra geral para composições (explicando a ideia): para f\circ g (isto é f(g(x))), primeiro x tem que estar no domínio de g; depois o valor g(x) tem que estar no domínio de f. Ou seja
\operatorname{Dom}(f\circ g)=\{x\in\operatorname{Dom}(g)\mid g(x)\in\operatorname{Dom}(f)\}.
Como vimos em Passo 2, \operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R} (todos os reais), então a segunda condição é automática: qualquer valor g(x) é aceito por f. Assim
\operatorname{Dom}(f\circ g)=\operatorname{Dom}(g)=[-5,\infty).

Passo 5

Expressão de f\circ g e simplificação (passo a passo):
Primeiro compomos:
f(g(x))=(g(x))^{2}-9=\bigl(4-\sqrt{x+5}\bigr)^{2}-9.
Expandindo com cuidado: seja s=\sqrt{x+5}. Então
\bigl(4-s\bigr)^{2}-9=16-8s+s^{2}-9.
Substituindo s^{2}=x+5:
16-8s+(x+5)-9 = x + (16+5-9) -8s = x+12-8\sqrt{x+5}.
Logo uma forma útil é
f(g(x))=x+12-8\sqrt{x+5},\qquad x\ge -5.

Passo 6

Imagem de f\circ g — pensamento estratégico e construção:
Sabemos que f(g(x))=(g(x))^{2}-9 e que o valor y=g(x) percorre a imagem de g, que é (-\infty,4] (Passo 3). Então a imagem de f\circ g é o conjunto
\{y^{2}-9\mid y\in(-\infty,4]\}.
Analise da função h(y)=y^{2}-9 sobre o intervalo y\le 4:
  • h(y)\ge -9 para todo y (mínimo global em y=0 com valor -9).
  • Como y\to -\infty, h(y)\to +\infty. Portanto h(y) atinge todos valores \ge -9.
    É preciso verificar que o valor y=0 pertence ao conjunto de y atingidos por g: resolvendo g(x)=0 temos \sqrt{x+5}=4\Rightarrow x=11, que está no domínio de g. Logo y=0 é atingido e o valor mínimo -9 aparece. Conclusão: a imagem de f\circ g é
[-9,\infty).

Passo 7

Agora g\circ f. Aplicamos a mesma regra: para g(f(x)) precisamos que x esteja no domínio de f (que é todo \mathbb{R}) e que f(x) esteja no domínio de g. Isto é
f(x)\in\operatorname{Dom}(g)=[-5,\infty).
Como f(x)=x^{2}-9, exigimos:
x^{2}-9 \ge -5 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\ge 4.
Resolvendo x^{2}\ge 4 obtemos
x\in (-\infty,-2]\cup [2,\infty).
Portanto o domínio de g\circ f é (-\infty,-2]\cup[2,\infty).

Passo 8

Expressão de g\circ f e simplificação:
g(f(x))=4-\sqrt{f(x)+5}=4-\sqrt{x^{2}-9+5}=4-\sqrt{x^{2}-4}.
Esta expressão está bem definida exatamente quando x^{2}-4\ge 0, que coincide com o domínio encontrado no passo anterior. Assim
g(f(x))=4-\sqrt{x^{2}-4},\qquad x\in (-\infty,-2]\cup[2,\infty).

Passo 9

Imagem de g\circ f:
Defina t=\sqrt{x^{2}-4}. Sobre o domínio x^{2}\ge 4 temos t\ge 0. Então
g(f(x))=4-t.
Como t pode crescer arbitrariamente (quando |x|\to\infty, t\to\infty), os valores de 4-t podem atingir arbitrariamente grandes negativos — então a imagem é não limitada inferiormente. O maior valor ocorre para t=0, que acontece quando x^{2}-4=0, isto é x=\pm 2. Para x=\pm 2 obtemos g(f(\pm 2))=4. Portanto a imagem é todos os valores \le 4, ou seja
(-\infty,4].
Verificação de atingibilidade: para qualquer w\le 4 tomamos t=4-w\ge 0 e resolvemos x^{2}-4=t^{2}\Rightarrow x^{2}=t^{2}+4, que dá soluções reais com |x|\ge 2, portanto dentro do domínio, garantindo que qualquer w\le 4 é efetivamente obtido.

Resposta

Domínio de f\circ g: [ -5,\infty)
Imagem de f\circ g: [ -9,\infty)
Domínio de g\circ f: (-\infty,-2]\cup[2,\infty)
Imagem de g\circ f: (-\infty,4]

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