Um objeto de
numa superfície horizontal sem atrito é ligado a uma mola com constante
. O objeto é deslocado
horizontalmente e empurrado a uma velocidade inicial de
, na direção do ponto de equilíbrio.
(a) Usando as relações de energia, calcule a amplitude da oscilação;
(b) Escreva a equação horária da posição do oscilador.
(a) Usando as relações de energia, calcule a amplitude da oscilação;
(b) Escreva a equação horária da posição do oscilador.
Passo 1
O enunciado dá um bloco ligado a uma mola sobre uma superfície sem atrito e pede duas coisas: a amplitude da oscilação e a equação horária da posição.
Dados fornecidos (vou escrever tudo em notação clara):
O enunciado diz que o bloco foi empurrado com velocidade inicial na direção do ponto de equilíbrio; portanto tomo
(o sinal negativo indica que a velocidade aponta para o equilíbrio se eu escolho a posição inicial
.)
O que se pede:
(a) Calcular a amplitude da oscilação usando relações de energia.
(b) Escrever a equação horária do oscilador.
(a) Calcular a amplitude
(b) Escrever a equação horária
Passo 2
Conceito físico e fórmula que vamos usar (aula curtinha):
Num oscilador harmônico simples sem atrito a energia mecânica total é conservada e é a soma da energia potencial elástica
com a energia cinética
. A amplitude
é o deslocamento máximo em que toda a energia é potencial, então
Num oscilador harmônico simples sem atrito a energia mecânica total
No instante inicial temos
Igualando as duas expressões para
obtemos a relação que liga
,
e
. Vou mostrar o passo algébrico no próximo passo.
Passo 3
Derivando explicitamente a expressão para
:
Partindo de
multiplicando por
e dividindo por
:
Portanto
Agora substituímos os números (faço as contas passo a passo):
Somando:
Então
Arredondando de forma coerente com os dados (3 algarismos significativos) fica
Passo 4
Agora vamos para a equação horária. Modelo padrão do movimento harmônico simples:
onde
é a pulsação angular e
é a fase inicial. A pulsação é dada por
Calculo
:
Vou usar
(três ou quatro casas decimais é suficiente).
Passo 5
Determinar a fase
a partir das condições iniciais. Em
:
Logo
Também a velocidade no modelo é
então em
logo
Substituo os valores numéricos para obter
e
:
Observação sobre sinais e quadrante: aqui
e
, portanto
está no primeiro quadrante (ângulo entre
e
). Isso é consistente: bloco está em
e movendo para o equilíbrio (velocidade negativa), o que exige uma fase positiva entre
e
.
Agora calculo
. Uma forma robusta é usar a função arco-tangente com as duas componentes:
Numericamente isso dá
Em graus isso é aproximadamente
, só para intuição.
Passo 6
Escrevo a equação horária completa com os valores encontrados. Mantendo boas casas decimais:
Posso checar rapidamente as condições iniciais:
Tudo conferiu.