Um objeto de 5,00 \mathrm{~kg} numa superfície horizontal sem atrito é ligado a uma mola com constante 1000 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. O objeto é deslocado 50,0 \mathrm{~cm} horizontalmente e empurrado a uma velocidade inicial de 10,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, na direção do ponto de equilíbrio.
(a) Usando as relações de energia, calcule a amplitude da oscilação;
(b) Escreva a equação horária da posição do oscilador.

Passo 1

O enunciado dá um bloco ligado a uma mola sobre uma superfície sem atrito e pede duas coisas: a amplitude da oscilação e a equação horária da posição.
Dados fornecidos (vou escrever tudo em notação clara):
m=5,00\\ \mathrm{kg}
k=1000\\ \mathrm{N/m}
\text{deslocamento inicial }x(0)=x_0=50,0\\ \mathrm{cm}=0,50\\ \mathrm{m}
O enunciado diz que o bloco foi empurrado com velocidade inicial na direção do ponto de equilíbrio; portanto tomo
v(0)=v_0=-10,0\\ \mathrm{m/s}
(o sinal negativo indica que a velocidade aponta para o equilíbrio se eu escolho a posição inicial x_0>0.)
O que se pede:
(a) Calcular a amplitude A da oscilação usando relações de energia.
(b) Escrever a equação horária x(t) do oscilador.

Passo 2

Conceito físico e fórmula que vamos usar (aula curtinha):
Num oscilador harmônico simples sem atrito a energia mecânica total E é conservada e é a soma da energia potencial elástica \tfrac{1}{2}k x^2 com a energia cinética \tfrac{1}{2}m v^2. A amplitude A é o deslocamento máximo em que toda a energia é potencial, então
E=\tfrac{1}{2}kA^2.
No instante inicial temos
E=\tfrac{1}{2}k x_0^2+\tfrac{1}{2}m v_0^2.
Igualando as duas expressões para E obtemos a relação que liga A, x_0 e v_0. Vou mostrar o passo algébrico no próximo passo.

Passo 3

Derivando explicitamente a expressão para A:
Partindo de
\tfrac{1}{2}kA^2=\tfrac{1}{2}k x_0^2+\tfrac{1}{2}m v_0^2,
multiplicando por 2 e dividindo por k:
A^2=x_0^2+\frac{m}{k}v_0^2.
Portanto
A=\sqrt{x_0^2+\frac{m}{k}v_0^2}.
Agora substituímos os números (faço as contas passo a passo):
x_0^2=(0,50)^2=0,25\\ \mathrm{m}^2.
\frac{m}{k}=\frac{5,00}{1000}=0,005\\ \mathrm{kg\cdot m/N} \quad(\text{o fator tem dimensão de } \mathrm{s}^2).ã
\frac{m}{k}v_0^2=0,005\cdot(10,0)^2=0,005\cdot100=0,50\\ \mathrm{m}^2.
Somando:
A^2=0,25+0,50=0,75\\ \mathrm{m}^2.
Então
A=\sqrt{0,75}=0,866025\ldots\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma coerente com os dados (3 algarismos significativos) fica
A\approx0,866\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Agora vamos para a equação horária. Modelo padrão do movimento harmônico simples:
x(t)=A\cos\bigl(\omega t+\varphi\bigr),
onde \omega é a pulsação angular e \varphi é a fase inicial. A pulsação é dada por
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Calculo \omega:
\frac{k}{m}=\frac{1000}{5,00}=200\\ \mathrm{s}^{-2},
\omega=\sqrt{200}=10\sqrt{2}\approx14,1421356\\ \mathrm{rad/s}.
Vou usar \omega\approx14,142\\ \mathrm{rad/s} (três ou quatro casas decimais é suficiente).

Passo 5

Determinar a fase \varphi a partir das condições iniciais. Em t=0:
x(0)=A\cos\varphi=x_0.
Logo
\cos\varphi=\frac{x_0}{A}.
Também a velocidade no modelo é
v(t)=\frac{dx}{dt}=-A\omega\sin\bigl(\omega t+\varphi\bigr),
então em t=0
v(0)=-A\omega\sin\varphi=v_0,
logo
\sin\varphi=-\frac{v_0}{A\omega}.
Substituo os valores numéricos para obter \cos\varphi e \sin\varphi:
\cos\varphi=\frac{0,50}{0,866025\ldots}=0,577350\ldots
A\omega=0,866025\ldots\times14,1421356\ldots=12,2474487\ldots
\sin\varphi=-\frac{v_0}{A\omega}=-\frac{-10,0}{12,2474487\ldots}=\frac{10,0}{12,2474487\ldots}=0,8164966\ldots
Observação sobre sinais e quadrante: aqui \cos\varphi>0 e \sin\varphi>0, portanto \varphi está no primeiro quadrante (ângulo entre 0 e \tfrac{\pi}{2}). Isso é consistente: bloco está em x_0>0 e movendo para o equilíbrio (velocidade negativa), o que exige uma fase positiva entre 0 e \tfrac{\pi}{2}.
Agora calculo \varphi. Uma forma robusta é usar a função arco-tangente com as duas componentes:
\varphi=\operatorname{atan2}\bigl(\sin\varphi,\cos\varphi\bigr)=\operatorname{atan2}(0,8164966\ldots,\,0,577350\ldots).
Numericamente isso dá
\varphi\approx0,9553166\\ \mathrm{rad}.
Em graus isso é aproximadamente 54,7356^\circ, só para intuição.

Passo 6

Escrevo a equação horária completa com os valores encontrados. Mantendo boas casas decimais:
x(t)=A\cos\bigl(\omega t+\varphi\bigr)=0,866\cos\bigl(14,142\,t+0,9553\bigr)\\ \mathrm{m}.
Posso checar rapidamente as condições iniciais:
x(0)=0,866\cos(0,9553)\approx0,50\\ \mathrm{m}\quad\checkmark
v(0)=-0,866\cdot14,142\cdot\sin(0,9553)\approx-10,0\\ \mathrm{m/s}\quad\checkmark
Tudo conferiu.

Resposta

A=0,866\\ \mathrm{m}
x(t)=0,866\cos\bigl(14,142\,t+0,9553\bigr)\\ \mathrm{m}

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