Problema 4 ( \mathbf{2 , 5} pt) Um cubo de aresta L é colocado com um de seus vértices na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Um campo elétrico não-unifome dado por \vec{E}=-a \hat{x}+b \hat{y}+c \hat{z} (onde a, b e c são constantes positivas) atravessa o cubo. Responda:
(a) Calcule o fluxo do campo elétrico através de cada uma das 6 faces do cubo.
(b) Calcule a carga contida dentro do cubo.

Passo 1

O enunciado dá: um cubo de aresta L está com um de seus vértices na origem. Um campo elétrico não-uniforme (na verdade uniforme em cada componente) é
\vec{E} = -a\hat{x} + b\hat{y} + c\hat{z},
onde a,b,c>0 são constantes. Pede-se:
(a) o fluxo do campo elétrico através de cada uma das 6 faces do cubo;
(b) a carga contida dentro do cubo.
Observação geométrica que usarei (está implícita no enunciado e é a colocação padrão): os arestas do cubo estão alinhadas aos eixos coordenados, de modo que o cubo ocupa a região
0\le x\le L,\quad 0\le y\le L,\quad 0\le z\le L,
isto é, o vértice oposto ao da origem fica em (L,L,L).

Passo 2

O que é fluxo e como vamos calculá‑lo (aula curta). Para uma superfície S com vetor normal unitário \hat{n} apontando para fora do volume, o fluxo de \vec{E} através de S é
\Phi_S=\iint_{S}\vec{E}\cdot\hat{n}\,dA.
Aqui dA é um elemento de área da superfície e \vec{E}\cdot\hat{n} é a componente de \vec{E} normal à superfície. No caso das faces do cubo, cada face é plana, \hat{n} é constante sobre a face e a integral reduz a \Phi_S=(\vec{E}\cdot\hat{n})\times(\text{área da face})á.

Passo 3

Identificar as 6 faces e seus vetores normais externos. As faces planas são:
  • face em x=0, área L^2, normal exterior \hat{n}=-\hat{x};
  • face em x=L, área L^2, normal exterior \hat{n}=+\hat{x};
  • face em y=0, área L^2, normal exterior \hat{n}=-\hat{y};
  • face em y=L, área L^2, normal exterior \hat{n}=+\hat{y};
  • face em z=0, área L^2, normal exterior \hat{n}=-\hat{z};
  • face em z=L, área L^2, normal exterior \hat{n}=+\hat{z}.

Passo 4

Calcular explicitamente o fluxo através de uma face como exemplo (a conta é idêntica nas outras, mudando só a normal). Tome a face x=L. Nessa face \hat{n}=+\hat{x}, e
\vec{E}\cdot\hat{n}=(-a\hat{x}+b\hat{y}+c\hat{z})\cdot\hat{x}=-a.
Como \hat{n} e \vec{E}\cdot\hat{n} são constantes sobre a face e a área é L^2, a integral fica
\Phi_{x=L} = (-a)\times L^2 = -aL^2.
Expliquei cada passo: produto escalar reduz aos componentes na direção normal; multiplicamos pela área porque a contribuição é constante.

Passo 5

Fluxo através da face x=0. Aqui \hat{n}=-\hat{x}. Então
\vec{E}\cdot\hat{n}=(-a\hat{x}+b\hat{y}+c\hat{z})\cdot(-\hat{x}) = (-a)(-1)=a.
Área L^2
\Phi_{x=0} = aL^2.

Passo 6

Fluxos através das faces em y. Para y=L temos \hat{n}=+\hat{y}, logo
\vec{E}\cdot\hat{n}=(-a\hat{x}+b\hat{y}+c\hat{z})\cdot\hat{y}=b,
e
\Phi_{y=L}=bL^2.
Para y=0 temos \hat{n}=-\hat{y}, logo
\vec{E}\cdot\hat{n}=(-a\hat{x}+b\hat{y}+c\hat{z})\cdot(-\hat{y})=-b,
e
\Phi_{y=0}=-bL^2.

Passo 7

Fluxos através das faces em z. Para z=L com \hat{n}=+\hat{z}:
\vec{E}\cdot\hat{n}=c,\qquad \Phi_{z=L}=cL^2.
Para z=0 com \hat{n}=-\hat{z}:
\vec{E}\cdot\hat{n}=-c,\qquad \Phi_{z=0}=-cL^2.

Passo 8

Resumindo os seis fluxos (checagem de sinais):
\Phi_{x=0}=aL^2,\quad \Phi_{x=L}=-aL^2,
\Phi_{y=0}=-bL^2,\quad \Phi_{y=L}=bL^2,
\Phi_{z=0}=-cL^2,\quad \Phi_{z=L}=cL^2.
Podemos somar todas para obter o fluxo total através da superfície fechada do cubo:
\Phi_{\text{total}} = aL^2 - aL^2 + bL^2 - bL^2 + cL^2 - cL^2 = 0.

Passo 9

Agora relacionar fluxo total com carga contida (curtinha de teoria). Pela Lei de Gauss para o campo elétrico em forma integral:
\oint_{\partial V}\vec{E}\cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde Q_{\text{int}} é a carga total dentro do volume V e \varepsilon_0 é a constante elétrica no vácuo. Como \Phi_{\text{total}}=0, segue
Q_{\text{int}} = \varepsilon_0 \Phi_{\text{total}} = \varepsilon_0\cdot 0 = 0.
Comentário alternativo (útil em prova): pelo Teorema da Divergência,
\nabla\cdot\vec{E} = \frac{\partial(-a)}{\partial x}+\frac{\partial b}{\partial y}+\frac{\partial c}{\partial z}=0,
então a densidade volumétrica de carga \rho=\varepsilon_0\nabla\cdot\vec{E}=0 em todo o volume, logo a carga total também é 0.

Resposta

(a) \Phi_{x=0}=aL^{2},\quad \Phi_{x=L}=-aL^{2},\quad \Phi_{y=0}=-bL^{2},\quad \Phi_{y=L}=bL^{2},\quad \Phi_{z=0}=-cL^{2},\quad \Phi_{z=L}=cL^{2}.\n(b) Q_{\text{int}}=0.

Exercícios relacionados