Problema 4 (
pt) Um cubo de aresta
é colocado com um de seus vértices na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Um campo elétrico não-unifome dado por
(onde
e
são constantes positivas) atravessa o cubo. Responda:
(a) Calcule o fluxo do campo elétrico através de cada uma das 6 faces do cubo.
(b) Calcule a carga contida dentro do cubo.
(a) Calcule o fluxo do campo elétrico através de cada uma das 6 faces do cubo.
(b) Calcule a carga contida dentro do cubo.
Passo 1
O enunciado dá: um cubo de aresta
está com um de seus vértices na origem. Um campo elétrico não-uniforme (na verdade uniforme em cada componente) é
onde
são constantes. Pede-se:
(a) o fluxo do campo elétrico através de cada uma das faces do cubo;
(b) a carga contida dentro do cubo.
(a) o fluxo do campo elétrico através de cada uma das
(b) a carga contida dentro do cubo.
Observação geométrica que usarei (está implícita no enunciado e é a colocação padrão): os arestas do cubo estão alinhadas aos eixos coordenados, de modo que o cubo ocupa a região
isto é, o vértice oposto ao da origem fica em
.
Passo 2
O que é fluxo e como vamos calculá‑lo (aula curta). Para uma superfície
com vetor normal unitário
apontando para fora do volume, o fluxo de
através de
é
Aqui
é um elemento de área da superfície e
é a componente de
normal à superfície. No caso das faces do cubo, cada face é plana,
é constante sobre a face e a integral reduz a
.
Passo 3
Identificar as
faces e seus vetores normais externos. As faces planas são:
- face em
, área , normal exterior ; - face em
, área , normal exterior ; - face em
, área , normal exterior ; - face em
, área , normal exterior ; - face em
, área , normal exterior ; - face em
, área , normal exterior .
Passo 4
Calcular explicitamente o fluxo através de uma face como exemplo (a conta é idêntica nas outras, mudando só a normal). Tome a face
. Nessa face
, e
Como
e
são constantes sobre a face e a área é
, a integral fica
Expliquei cada passo: produto escalar reduz aos componentes na direção normal; multiplicamos pela área porque a contribuição é constante.
Passo 5
Fluxo através da face
. Aqui
. Então
Área
dá
Passo 6
Fluxos através das faces em
. Para
temos
, logo
e
Para
temos
, logo
e
Passo 7
Fluxos através das faces em
. Para
com
:
Para
com
:
Passo 8
Resumindo os seis fluxos (checagem de sinais):
Podemos somar todas para obter o fluxo total através da superfície fechada do cubo:
Passo 9
Agora relacionar fluxo total com carga contida (curtinha de teoria). Pela Lei de Gauss para o campo elétrico em forma integral:
onde
é a carga total dentro do volume
e
é a constante elétrica no vácuo. Como
, segue
Comentário alternativo (útil em prova): pelo Teorema da Divergência,
então a densidade volumétrica de carga
em todo o volume, logo a carga total também é
.
Resposta
(a)
\n(b)