5 - Solenoide vs Toroide ideais

Um solenoide e um toroide são construidos com fio condutor idêntico:
  • Solenoide: comprimento L, N espiras e corrente i.
  • Toroide: N espiras, mesma corrente i e raio médio r=L / 2 \pi.
    a) Escreva a expressão do campo magnético interno de um Solenoide longo e calcule \mathbf{B}_{\mathbf{s}}.
    b) Escreva a expressão do campo magnético interno de um Toroide e calcule \mathbf{B}_{\mathbf{t}}.
    c) Compare qualitativamente os dois campos:
  • Em qual dos dois o campo é mais uniforme?
  • Considerando os dados acima, em qual o campo é mais intenso?

Passo 1

O enunciado dá dois dispositivos feitos com o mesmo fio condutor e com as mesmas espiras e corrente, e pede o campo magnético interno de cada um e uma comparação. Dados e perguntas explicitados:
  • Dados:
    L,\; N,\; i
    para o solenoide: comprimento L, N espiras, corrente i.
    r = \frac{L}{2\pi}
    para o toroide: N espiras, mesma corrente i e raio médio r dado acima.
  • Perguntas:
    a) Escrever a expressão do campo magnético interno de um solenoide longo e calcular \mathbf{B}_{s}.
    b) Escrever a expressão do campo magnético interno de um toroide e calcular \mathbf{B}_{t}.
    c) Comparar qualitativamente: (i) em qual dos dois o campo é mais uniforme? (ii) considerando os dados acima, em qual o campo é mais intenso?

Passo 2

Conceito e ferramenta que vamos usar: Lei de Ampère na forma integral. Vou explicar calmamente.
A Lei de Ampère diz que a integral de linha do campo magnético ao longo de um caminho fechado é proporcional à corrente total atravessando a superfície delimitada por esse caminho. Em fórmulas:
\oint \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \mu_0 I_{\text{enc}}
onde:
\mu_0 é a permeabilidade do vácuo (constante),
\mathbf{B} é o campo magnético,
d\boldsymbol{\ell} é um elemento do caminho de integração,
I_{\text{enc}} é a corrente total atravessando a superfície limitada pelo caminho.
Ideia prática: escolhemos um caminho simétrico (loop amperiano) onde \mathbf{B} tem direção e módulo constantes fáceis de integrar. Com isso isolamos \mathbf{B}.

Passo 3

Campo de um solenoide longo ideal — dedução passo a passo.
  1. Modelo e aproximação: um solenoide “longo” significa que o comprimento L é grande comparado ao raio do enrolamento, de forma que, longe das extremidades, o campo dentro é aproximadamente uniforme e paralelo ao eixo, e fora do solenoide o campo é desprezível.
  2. Definição de densidade de espiras por unidade de comprimento:
n = \frac{N}{L}
onde n tem unidades de espiras por metro.
  1. Escolha do loop amperiano: um retângulo com um lado de comprimento l paralelo ao eixo do solenoide e dentro do solenoide (verbalmente, um loop que percorre por dentro e por fora). Pela simetria, no trecho interno \mathbf{B} é aproximadamente constante e paralelo ao deslocamento; no trecho externo, \mathbf{B} é desprezível.
  2. Aplicando Ampère: a integral reduz-se a B_s \, l do lado interno. A corrente total atravessando a superfície é o número de espiras dentro do comprimento l multiplicado por i, isto é n\,l\cdot i. Portanto:
B_s\, l = \mu_0 (n\,l)\, i
  1. Cancelando l e escrevendo em termos de N e L:
B_s = \mu_0 n i
B_s = \mu_0 \frac{N}{L}\, i
Isso é a expressão do campo magnético interno de um solenoide longo ideal. Direção: ao longo do eixo do solenoide, dada pela regra da mão direita (círculo das espiras determina sentido axial).

Passo 4

Campo de um toroide ideal — dedução passo a passo.
  1. Modelo e aproximação: um toroide é um enrolamento em forma de anel. Para um toroide ideal (espiras bem próximas formam um anel fechado) o campo fora do toroide é praticamente zero e dentro do anel o campo é circular (circunferências concêntricas) e depende apenas do raio r' da curva considerada.
  2. Escolha do loop amperiano: uma circunferência de raio r' centrada no eixo do toroide, dentro do material enrolado. Pela simetria, \mathbf{B} tem módulo constante ao longo dessa circunferência e tangente a ela.
  3. Aplicando Ampère: a integral de linha é B(r')\cdot 2\pi r'. A corrente total atravessando a superfície limitada pela circunferência é N\,i (todas as espiras ficam “envolvidas” pelo loop se r' estiver dentro do anel), portanto:
B(r')\cdot 2\pi r' = \mu_0 N i
  1. Isolando B(r'):
B(r') = \mu_0 \frac{N i}{2\pi r'}
Essa é a expressão geral para o campo dentro do toroide a uma distância radial r' do centro. A direção é azimutal (circunferencial) seguindo a regra da mão direita em relação à corrente nas espiras.
  1. Usando o raio médio dado no enunciado \displaystyle r = \frac{L}{2\pi}, substituímos r' = r para obter o valor pedido \mathbf{B}_{t}:
B_t = \mu_0 \frac{N i}{2\pi r}
Substituindo r = \dfrac{L}{2\pi}:
2\pi r = 2\pi \cdot \frac{L}{2\pi} = L
Portanto:
B_t = \mu_0 \frac{N i}{L}

Passo 5

Resumo dos resultados algébricos (já chegamos às expressões e fizemos a substituição numérica simbólica):
  1. Solenoide:
B_s = \mu_0 \frac{N}{L}\, i
  1. Toroide (usando r = \dfrac{L}{2\pi}):
B_t = \mu_0 \frac{N i}{L}
Observação: matematicamente B_s e B_t têm o mesmo módulo com os dados fornecidos.

Passo 6

Discussão física e comparação qualitativa (explicada de modo simples):
  1. Uniformidade:
  • No solenoide longo ideal, B_s é (aproximadamente) constante em todo o interior ao longo da seção transversal e não depende da posição radial (desprezando as extremidades). Logo, é muito uniforme dentro do volume do solenoide.
  • No toroide, a expressão geral é B(r') = \mu_0 N i /(2\pi r'): o campo varia com 1/r'. Assim, ao mover-se radialmente dentro do toroide o campo muda; portanto, em termos absolutos o campo não é tão uniforme. Observação prática: se a seção transversal do toroide for muito pequena comparada ao raio médio, a variação dentro da seção é pequena e o campo é aproximadamente uniforme localmente, mas em geral o solenoide longo fornece maior uniformidade espacial.
  1. Intensidade (considerando os dados do enunciado):
  • Substituindo r = L/(2\pi) obtivemos B_s = B_t = \mu_0 N i / L. Logo, com os dados fornecidos, ambos têm a mesma intensidade de campo magnético (mesmo módulo). Direção do campo difere: no solenoide é axial; no toroide é circular ao redor do anel.
  1. Comentário prático e motivador: o toroide produz quase nenhum campo fora do enrolamento (confinamento do campo), enquanto o solenoide longo tem campo externo pequeno, porém com extremidades há vazamento. Essa diferença é importante em aplicações, embora não mude a igualdade de magnitudes que encontramos com os dados dados.

Resposta

a) B_s = \mu_0 \dfrac{N}{L}\, i
b) B_t = \mu_0 \dfrac{N i}{2\pi r} = \mu_0 \dfrac{N i}{L} (usando r=\dfrac{L}{2\pi})
c1) O campo é mais uniforme no solenoide longo (internamente).
c2) Com os dados fornecidos ( r=L/2\pi ) os módulos são iguais: B_s = B_t.

Exercícios relacionados