5 - Solenoide vs Toroide ideais
Um solenoide e um toroide são construidos com fio condutor idêntico:
- Solenoide: comprimento L, N espiras e corrente i.
- Toroide:
espiras, mesma corrente i e raio médio
.
a) Escreva a expressão do campo magnético interno de um Solenoide longo e calcule
.
b) Escreva a expressão do campo magnético interno de um Toroide e calcule
.
c) Compare qualitativamente os dois campos:
- Em qual dos dois o campo é mais uniforme?
- Considerando os dados acima, em qual o campo é mais intenso?
a) Escreva a expressão do campo magnético interno de um Solenoide longo e calcule
b) Escreva a expressão do campo magnético interno de um Toroide e calcule
c) Compare qualitativamente os dois campos:
Passo 1
O enunciado dá dois dispositivos feitos com o mesmo fio condutor e com as mesmas espiras e corrente, e pede o campo magnético interno de cada um e uma comparação. Dados e perguntas explicitados:
-
Dados:para o solenoide: comprimento
, espiras, corrente . para o toroide:espiras, mesma corrente e raio médio dado acima. -
Perguntas:
a) Escrever a expressão do campo magnético interno de um solenoide longo e calcular.
b) Escrever a expressão do campo magnético interno de um toroide e calcular.
c) Comparar qualitativamente: (i) em qual dos dois o campo é mais uniforme? (ii) considerando os dados acima, em qual o campo é mais intenso?
Passo 2
Conceito e ferramenta que vamos usar: Lei de Ampère na forma integral. Vou explicar calmamente.
A Lei de Ampère diz que a integral de linha do campo magnético ao longo de um caminho fechado é proporcional à corrente total atravessando a superfície delimitada por esse caminho. Em fórmulas:
onde:
é a permeabilidade do vácuo (constante),
é o campo magnético,
é um elemento do caminho de integração,
é a corrente total atravessando a superfície limitada pelo caminho.
Ideia prática: escolhemos um caminho simétrico (loop amperiano) onde
tem direção e módulo constantes fáceis de integrar. Com isso isolamos
.
Passo 3
Campo de um solenoide longo ideal — dedução passo a passo.
-
Modelo e aproximação: um solenoide “longo” significa que o comprimento
é grande comparado ao raio do enrolamento, de forma que, longe das extremidades, o campo dentro é aproximadamente uniforme e paralelo ao eixo, e fora do solenoide o campo é desprezível. -
Definição de densidade de espiras por unidade de comprimento:
onde
tem unidades de espiras por metro.
-
Escolha do loop amperiano: um retângulo com um lado de comprimento
paralelo ao eixo do solenoide e dentro do solenoide (verbalmente, um loop que percorre por dentro e por fora). Pela simetria, no trecho interno é aproximadamente constante e paralelo ao deslocamento; no trecho externo, é desprezível. -
Aplicando Ampère: a integral reduz-se a
do lado interno. A corrente total atravessando a superfície é o número de espiras dentro do comprimento multiplicado por , isto é . Portanto:
- Cancelando
e escrevendo em termos de e :
Isso é a expressão do campo magnético interno de um solenoide longo ideal. Direção: ao longo do eixo do solenoide, dada pela regra da mão direita (círculo das espiras determina sentido axial).
Passo 4
Campo de um toroide ideal — dedução passo a passo.
-
Modelo e aproximação: um toroide é um enrolamento em forma de anel. Para um toroide ideal (espiras bem próximas formam um anel fechado) o campo fora do toroide é praticamente zero e dentro do anel o campo é circular (circunferências concêntricas) e depende apenas do raio
da curva considerada. -
Escolha do loop amperiano: uma circunferência de raio
centrada no eixo do toroide, dentro do material enrolado. Pela simetria, tem módulo constante ao longo dessa circunferência e tangente a ela. -
Aplicando Ampère: a integral de linha é
. A corrente total atravessando a superfície limitada pela circunferência é (todas as espiras ficam “envolvidas” pelo loop se estiver dentro do anel), portanto:
- Isolando
:
Essa é a expressão geral para o campo dentro do toroide a uma distância radial
do centro. A direção é azimutal (circunferencial) seguindo a regra da mão direita em relação à corrente nas espiras.
- Usando o raio médio dado no enunciado
, substituímos para obter o valor pedido :
Substituindo
:
Portanto:
Passo 5
Resumo dos resultados algébricos (já chegamos às expressões e fizemos a substituição numérica simbólica):
- Solenoide:
- Toroide (usando
):
Observação: matematicamente
e
têm o mesmo módulo com os dados fornecidos.
Passo 6
Discussão física e comparação qualitativa (explicada de modo simples):
- Uniformidade:
- No solenoide longo ideal,
é (aproximadamente) constante em todo o interior ao longo da seção transversal e não depende da posição radial (desprezando as extremidades). Logo, é muito uniforme dentro do volume do solenoide. - No toroide, a expressão geral é
: o campo varia com . Assim, ao mover-se radialmente dentro do toroide o campo muda; portanto, em termos absolutos o campo não é tão uniforme. Observação prática: se a seção transversal do toroide for muito pequena comparada ao raio médio, a variação dentro da seção é pequena e o campo é aproximadamente uniforme localmente, mas em geral o solenoide longo fornece maior uniformidade espacial.
- Intensidade (considerando os dados do enunciado):
- Substituindo
obtivemos . Logo, com os dados fornecidos, ambos têm a mesma intensidade de campo magnético (mesmo módulo). Direção do campo difere: no solenoide é axial; no toroide é circular ao redor do anel.
- Comentário prático e motivador: o toroide produz quase nenhum campo fora do enrolamento (confinamento do campo), enquanto o solenoide longo tem campo externo pequeno, porém com extremidades há vazamento. Essa diferença é importante em aplicações, embora não mude a igualdade de magnitudes que encontramos com os dados dados.
Resposta
a)
b) (usando
)
c1) O campo é mais uniforme no solenoide longo (internamente).
c2) Com os dados fornecidos ( ) os módulos são iguais:
.
b)
c1) O campo é mais uniforme no solenoide longo (internamente).
c2) Com os dados fornecidos (