Um objeto de 10 kg está em movimento descendo uma rampa inclinada a 30 graus em relação à horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre o objeto e a rampa é de 0,2 . Qual é a aceleração do objeto?

Passo 1

O enunciado pede para calcular a aceleração do objeto que desce a rampa. Informações dadas:
m=10\\ \text{kg},\qquad \theta=30^\circ,\qquad \mu_k=0{,}2.
Pergunta: qual é a aceleração a do objeto (direção para baixo ao longo da rampa)?

Passo 2

Identificar as forças que atuam no objeto (descrição do diagrama de corpo livre):
  • Peso: \, \vec{P} = m\vec{g} apontando verticalmente para baixo.
  • Força normal: \, \vec{N} perpendicular à superfície da rampa (para fora da rampa).
  • Força de atrito cinético: \, \vec{f}_k que atua paralela à superfície, em sentido oposto ao movimento (ou seja, para cima ao longo da rampa).
Agora decompomos o peso em duas componentes (isso é padrão em problemas com rampa inclinada):
  • Componente paralela à rampa (para baixo): \, mg\sin\theta.
  • Componente perpendicular à rampa: \, mg\cos\theta.
Explicando por que: imagine um triângulo retângulo formado pelas componentes; as razões trigonométricas dão que a componente ao longo da rampa é mg\sin\theta e a perpendicular é mg\cos\theta. Aqui g é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Fórmula do atrito cinético e normal:
A força de atrito cinético tem a forma
f_k=\mu_k N,
onde N é a força normal. Como não há aceleração perpendicular à rampa (o objeto não sai nem penetra a rampa), a normal equilibra a componente perpendicular do peso:
N = mg\cos\theta.
Substituindo em f_k temos
f_k=\mu_k\,mg\cos\theta.
Aqui m é a massa do objeto, \mu_k é o coeficiente de atrito cinético e \theta é o ângulo da rampa.

Passo 4

Aplicar a segunda lei de Newton na direção paralela à rampa (escolhendo positivo para baixo ao longo da rampa):
A soma das forças na direção paralela é
\sum F_{\parallel} = mg\sin\theta - f_k.
Pela segunda lei,
m a = mg\sin\theta - f_k.
Substituindo f_k=\mu_k mg\cos\theta obtemos
m a = mg\sin\theta - \mu_k mg\cos\theta.
Agora podemos simplificar dividindo ambos os lados por m (a massa cancela — por isso a aceleração não depende da massa):
a = g\sin\theta - \mu_k g\cos\theta.
Colocando em forma factorizada:
a = g\bigl(\sin\theta - \mu_k\cos\theta\bigr).
Explicação: isso é intuitivo — a componente gravitacional que puxa para baixo é g\sin\theta, e o atrito efetivo por unidade de massa é \mu_k g\cos\theta; a diferença dá a aceleração.

Passo 5

Substituir valores numéricos. Usamos \,g=9{,}8\\ \text{m/s}^2, \sin30^\circ=\tfrac{1}{2} e \cos30^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
a = 9{,}8\left(\tfrac{1}{2} - 0{,}2\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) =9{,}8\left(\tfrac{1}{2} - 0{,}1\sqrt{3}\right).
Calculemos passo a passo:
0{,}1\sqrt{3}\approx 0{,}1\times1{,}732=0{,}1732,
\tfrac{1}{2}-0{,}1732=0{,}5000-0{,}1732=0{,}3268,
a\approx 9{,}8\times0{,}3268\approx 3{,}203\\ \text{m/s}^2.
Arredondando de forma razoável para duas casas decimais:
a\approx 3{,}20\\ \text{m/s}^2.

Passo 6

Checagem rápida e comentário: note que a>0, logo a componente da gravidade paralela supera o atrito e o objeto realmente acelera para baixo (coerente com o enunciado que disse “está em movimento descendo a rampa”). Também é útil lembrar: a massa não aparece no resultado final — em problemas de rampa com atrito cinético, a aceleração depende de g, \theta e \mu_k, não da massa.

Resposta

a\approx 3{,}20\\ \text{m/s}^2

Exercícios relacionados