Um objeto a 100^circ C é colocado em um ambiente a 20^circ C. Após 10 minutos, sua temperatura cai para 60^circ C. Determine a temperatura após 20 minutos, usando a Lei de Resfriamento de Newton.

Passo 1

O enunciado descreve um objeto que parte de 100^circC e é colocado num ambiente a 20^circC. Pelo enunciado, após 10 min sua temperatura chega a 60^circC. O conteúdo é a Lei de Resfriamento de Newton, que diz que a temperatura T(t) do objeto satisfaz
T(t)=Ta + l(T0 - Tar)e^-k t,
onde Ta é a temperatura do ambiente, T0 a inicial do objeto e k>0 a constante de resfriamento. Precisamos achar k e depois calcular T(20).

Passo 2

Substituindo Ta=20, T0=100 e o dado T(10)=60 na fórmula, obtemos
60 = 20 + (100-20)e^-kcdot10 Longrightarrow 60 = 20 + 80,e^-10k
de onde
80,e^-10k=40 Longrightarrow e^-10k=tfrac12
Tomando logaritmo natural,
-10k = lnl(tfrac12r) = -ln2 Longrightarrow k = ln210

Passo 3

Agora calculamos
T(20)=20 + 80,e^-20k =20 + 80,e^-20cdotln210 =20 + 80,e^-2ln2 =20 + 80cdot 2^-2 =20 + 80cdot tfrac14 =20 + 20 =40

Resposta

A temperatura após 20 minutos é 40^circC.

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