Determine se a série é convergente ou divergente, utilizando os testes de convergência de séries numéricas.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente usando testes de séries numéricas. Vamos empregar o teste da integral imprópria, que exige verificar positividade e decrescimento de e depois analisar a integral correspondente.
é convergente ou divergente usando testes de séries numéricas. Vamos empregar o teste da integral imprópria, que exige verificar positividade e decrescimento de
Passo 2
Verificamos que
para todo
, pois
e
. Definimos a função contínua
Calculando a derivada,
portanto
é decrescente em
, e as condições do teste da integral estão satisfeitas.
Passo 3
Aplicamos o teste da integral considerando
Fazendo a substituição
,
, os limites vão de
até
. A integral transforma-se em
Logo, a integral diverge.
Passo 4
Pelo teste da integral imprópria, como a integral diverge, a série
também diverge.
Resposta
A série é divergente.