Determine se a série é convergente ou divergente, utilizando os testes de convergência de séries numéricas.
sumn=2^infty 1n ln n

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=2^infty1nln n
é convergente ou divergente usando testes de séries numéricas. Vamos empregar o teste da integral imprópria, que exige verificar positividade e decrescimento de an=1nln n e depois analisar a integral correspondente.

Passo 2

Verificamos que an=1nln n>0 para todo n>=2, pois n>0 e ln n>0. Definimos a função contínua
f(x)=1xln x, x>=2
Calculando a derivada,
f'(x)=-1+ln xx^2(ln x)^2<0para x>1,
portanto f é decrescente em [2,infty), e as condições do teste da integral estão satisfeitas.

Passo 3

Aplicamos o teste da integral considerando
integral2^infty1xln x,dx
Fazendo a substituição u=ln x, du=dxx, os limites vão de u=ln2 até utoinfty. A integral transforma-se em
integralln2^infty1u,du =limTtoinftyl[ln ur]u=ln2^u=T =limTtoinftyln(ln T)-ln(ln2) =infty
Logo, a integral diverge.

Passo 4

Pelo teste da integral imprópria, como a integral diverge, a série sumn=2^infty1nln n também diverge.

Resposta

A série é divergente.

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