Um medicamento é eliminado do sangue de uma pessoa de forma proporcional à quantidade presente. Se 100 mg são administrados e restam 60 mg após 2 horas, quantos miligramas restarão após 5 horas?

Passo 1

O enunciado descreve um decaimento proporcional à quantidade presente no sangue, ou seja, um decaimento exponencial. Recebemos A0=100 mg inicialmente e após 2 h temos A(2)=60 mg. Queremos A(5). Para isso, vamos usar a EDO do decaimento e a solução geral da forma exponencial.

Passo 2

O modelo de decaimento exponencial satisfaz a equação diferencial
dAdt = -k,A
cuja solução geral é
A(t) = A0,e^-k t

Passo 3

Usando o dado A(2)=60, temos
60 = 100,e^-2k Longrightarrow e^-2k = 60100 = 0,6 Longrightarrow -2k = ln(0,6) Longrightarrow k = -tfrac12 ln(0,6)

Passo 4

Para t=5 horas,
A(5) = 100,e^-5k
Como e^-2k=0,6, escrevemos
e^-5k = l(e^-2kr)^5/2 = (0,6)^5/2,
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A(5) = 100 cdot (0,6)^5/2

Passo 5

Fazendo as contas:
(0,6)^2 = 0,36, (0,6)^1/2 = raiz0,6approx0,7746,
(0,6)^5/2 = 0,36 times 0,7746approx0,2789,
então
A(5) = 100 times 0,2789 approx 27,89 mg

Resposta

Depois de 5 horas restarão aproximadamente 27,9 mg do medicamento no sangue.

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