Qual é o objeto concreto fundamental e qual é a sua definição?
Passo 1
Beleza, o enunciado só pergunta: “Qual é o objeto concreto fundamental e qual é a sua definição?”
Isso cai dentro de Teoria de Categorias, na parte de categorias concretas. Para responder a gente vai precisar lembrar do que é:
Isso cai dentro de Teoria de Categorias, na parte de categorias concretas. Para responder a gente vai precisar lembrar do que é:
- categoria;
- funtor;
- funtor fiel;
- categoria concreta;
- daí, identificar qual é o “objeto concreto fundamental”.
Passo 2
Primeiro, categoria é só um jeitão de juntar objetos e flechas (morfismos) entre eles, obedecendo umas regrinhas de composição (associativa) e identidade.
Não precisa decorar axiomas frios, basta pensar: objetos, flechas, composição e identidade.
Não precisa decorar axiomas frios, basta pensar: objetos, flechas, composição e identidade.
Passo 3
Funtor é um “mapa” entre categorias. Se eu tenho categorias 𝐶 e 𝐷, um funtor 𝐹 manda cada objeto de 𝐶 pra um objeto de 𝐷, e cada flecha de 𝐶 pra uma flecha de 𝐷, respeitando composição e identidade.
Passo 4
Funtor fiel (faithful) significa que ele não “cola” duas flechas diferentes do mesmo par de objetos em 𝐶 no mesmo flecha em 𝐷. Em outras palavras, 𝐹 é injetivo em cada conjunto hom(–,–).
Passo 5
Categoria concreta é justamente uma categoria 𝐶 junto com um funtor fiel 𝑈: 𝐶 → Set (a categoria de conjuntos), que “esquece” a estrutura e te dá só o conjunto subjacente de cada objeto.
Passo 6
O “objeto concreto fundamental” é simplesmente o exemplo mais básico de categoria concreta:
a própria categoria de conjuntos Set com o funtor identidade
a própria categoria de conjuntos Set com o funtor identidade
Esse par
é o modelo mínimo de categoria concreta, porque o funtor de esquecimento é só a identidade (não esquece nada, é fiel óbvio).
Resposta
O objeto concreto fundamental é a categoria dos conjuntos
equipada com o funtor identidade
,
ou seja,
ou seja,