Um objeto de densidade \rho_{1} é totalmente imerso em um líquido de densidade \rho_{0}, distante incialmente 425,9 \mathrm{~cm} da superficie inferior do tanque preenchido por este líquido. Adote a gravidade local como 9,8 \mathrm{~m} / \\mathrm{s}^{2}, e despreze qualquer força dissipativa. Se a razão entre as densidade \rho_{0} / \rho_{1}=0,61, calcule em quanto tempo o objeto toca a superficie inferior do tanque.
Resposta:

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o tempo até o objeto tocar o fundo do tanque:
  • Razão entre as densidades: \rho_{0}/\rho_{1}=0,61.
  • Distância inicial do objeto até a superfície inferior do tanque: 425,9\\ \mathrm{cm}.
  • Gravidade local: 9,8\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
  • Despreza-se qualquer força dissipativa (sem resistência do fluido).
  • O objeto está totalmente imerso inicialmente.
    Assumo que o objeto é solto sem velocidade inicial, ou seja, velocidade inicial v_{0}=0. A pergunta é: quanto tempo t até o objeto percorrer essa distância e tocar o fundo?

Passo 2

Vamos identificar as forças que atuam no objeto e escrevê‑las matematicamente:
  • Força peso (para baixo): W=\rho_{1} V g, onde V é o volume do objeto e g é a aceleração da gravidade.
  • Força de empuxo (para cima), pela Princípio de Arquimedes: F_{b}=\rho_{0} V g, pois o empuxo é igual ao peso do volume de líquido deslocado.
    Repare que tanto W quanto F_{b} são proporcionais a Vg.

Passo 3

A força resultante para baixo é a diferença entre o peso e o empuxo:
F_{\text{res}} = W - F_{b} = (\rho_{1}-\rho_{0}) V g.
Para obter a aceleração a usamos a segunda lei de Newton F_{\text{res}} = m a, onde a massa do objeto é m=\rho_{1} V. Assim
a = \frac{F_{\text{res}}}{m} = \frac{(\rho_{1}-\rho_{0}) V g}{\rho_{1} V} = \left(1-\frac{\rho_{0}}{\rho_{1}}\right) g.
Explicação intuitiva: o volume V cancela — a aceleração depende apenas da razão entre densidades e da gravidade.

Passo 4

Substituindo a razão dada \rho_{0}/\rho_{1}=0,61 obtemos
a = (1-0,61)\,g = 0,39\;g.
Com g=9,8\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2},
a = 0,39\cdot 9,8 = 3,822\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.

Passo 5

Convertemos a distância para metros: 425,9\\ \mathrm{cm}=4,259\\ \mathrm{m}.
Como assumimos v_{0}=0 e a aceleração é constante, usamos a equação do movimento retilíneo uniformemente acelerado:
s = v_{0} t + \tfrac{1}{2} a t^{2}.
Com v_{0}=0 isso vira
s = \tfrac{1}{2} a t^{2} \quad\Rightarrow\quad t = \sqrt{\frac{2s}{a}}.
Aqui s é a distância a percorrer até o fundo, a a aceleração obtida no passo anterior, e t o tempo procurado.

Passo 6

Substituímos os valores numéricos:
t = \sqrt{\frac{2\cdot 4,259}{3,822}}.
Calculemos passo a passo:
2\cdot 4,259 = 8,518,
\frac{8,518}{3,822} \approx 2,2283,
t \approx \sqrt{2,2283} \approx 1,493\\ \mathrm{s}.
Arredondando de forma razoável para duas casas decimais: t \approx 1,49\\ \mathrm{s}.

Resposta

1,49\\ \mathrm{s}

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