\rho(\mathrm{h})=\left(1,2 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}\right)+\left(0,002 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{5}\right) \mathrm{h}^{2}. Adote \mathrm{g}=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, e dê sua resposta em bar, com 3 casas decimais.
Resposta:
Considere um tanque muito profundo, aberto, preenchido com um líquido cuja densidade varia de acordo com a função
Sabendo que o pressão atmosférica local vale 1 atm , estime a pressão total dentro do tanque quando na profundidade 147,7 \mathrm{~cm}. □

Passo 1

O enunciado pede: estimar a pressão total dentro do tanque à profundidade 147{,}7\\ \mathrm{cm}, sabendo que o líquido tem densidade variável
\rho(h)=\left(1{,}2\\ \mathrm{g/cm^{3}}\right)+\left(0{,}002\\ \mathrm{g/cm^{5}}\right)h^{2},
a aceleração da gravidade é g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}} e a pressão atmosférica local vale 1\\ \mathrm{atm}. A resposta deve ser dada em bar com três casas decimais.
Informações relevantes fornecidas:
  • função densidade \rho(h) com unidades em gramas e centímetros (ver acima);
  • profundidade pedida h=147{,}7\\ \mathrm{cm};
  • g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}};
  • pressão atmosférica p_{\text{atm}}=1\\ \mathrm{atm} (usaremos 1\\ \mathrm{atm}=101325\\ \mathrm{Pa});
  • pedido final: pressão total em bar com 3 casas decimais.

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (sem ainda aplicar números). A pressão total na profundidade h é a soma da pressão atmosférica com a pressão hidrostática produzida pela coluna de líquido acima:
p_{\text{total}} = p_{\text{atm}} + \Delta p,
onde a pressão hidrostática para densidade que varia com a profundidade é dada por
\Delta p = \int_{0}^{h} \rho(h')\, g\, \mathrm{d}h'.
Explicando: \rho(h') é a densidade local a uma profundidade h' (unidade massa/volume), g é a aceleração da gravidade, e ao integrar de 0 (superfície) até h somamos os contributions elementares de pressão \rho g \,\mathrm{d}h. O resultado da integral tem unidade de pressão (Pa) se \rho estiver em \mathrm{kg/m^{3}}, g em \mathrm{m/s^{2}} e h em \mathrm{m}.

Passo 3

Unidades: converter a função densidade para SI ( \mathrm{kg/m^{3}}) e usar profundidade em metros. Defino z em metros com z=h/100. Então h=147{,}7\\ \mathrm{cm}\Rightarrow z=1{,}477\\ \mathrm{m}.
Converter termos da densidade:
1{,}2\\ \mathrm{g/cm^{3}} = 1{,}2\times 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} = 1200\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Agora o coeficiente da parte dependente de h^{2}:
  • primeiro reescrevo com z (metros). Como h no enunciado está em cm, h(\mathrm{cm})=100z. Então
0{,}002\\ \mathrm{g/cm^{5}}\cdot h^{2} = 0{,}002\\ \mathrm{g/cm^{5}}\cdot (100z)^{2} = 0{,}002\cdot 10000\\ \mathrm{g/cm^{5}}\cdot z^{2} = 20\\ \mathrm{g/cm^{5}}\cdot z^{2}.
  • converter 20\\ \mathrm{g/cm^{5}} para \mathrm{kg/m^{5}}. Observando 1\\ \mathrm{g/cm^{5}} = 10^{7}\\ \mathrm{kg/m^{5}} (porque 1\\ \mathrm{g}=10^{-3}\\ \mathrm{kg} e 1\\ \mathrm{cm^{5}}=(10^{-2}\\ \mathrm{m})^{5}=10^{-10}\\ \mathrm{m^{5}}, então 1\\ \mathrm{g/cm^{5}}=10^{-3}/10^{-10}=10^{7}\\ \mathrm{kg/m^{5}}). Logo
20\\ \mathrm{g/cm^{5}} = 20\times 10^{7}\\ \mathrm{kg/m^{5}} = 2\times 10^{8}\\ \mathrm{kg/m^{5}}.
Portanto, em unidades SI (com z em metros),
\rho(z)=1200 + 2\times 10^{8}\, z^{2}\qquad(\mathrm{kg/m^{3}}).

Passo 4

Calcular a pressão hidrostática \Delta p usando a integral:
\Delta p = \int_{0}^{z} \rho(z')\, g\, \mathrm{d}z' = g\int_{0}^{z} \left(1200 + 2\times 10^{8} (z')^{2}\right)\mathrm{d}z'.
Integrando termo a termo:
\int_{0}^{z} 1200\,\mathrm{d}z' = 1200 z,
\int_{0}^{z} 2\times 10^{8}(z')^{2}\mathrm{d}z' = 2\times 10^{8}\cdot\frac{z^{3}}{3}.
Logo
\Delta p = g\left(1200 z + \frac{2\times 10^{8}\, z^{3}}{3}\right).

Passo 5

Substituir valores numéricos: z=1{,}477\\ \mathrm{m} e g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}. Primeiro calcule z^{3}:
z^{3} = (1{,}477)^{3} \approx 3{,}222118333\\ \mathrm{m^{3}}.
Calcule o termo cúbico:
\frac{2\times 10^{8}\, z^{3}}{3} = \frac{2\times 10^{8}\times 3{,}222118333}{3} = 2\times 10^{8}\times 1{,}074039444\approx 214\,807\,888{,}867\\ \mathrm{kg/m^{2}}.
Calcule o termo linear:
1200 z = 1200\times 1{,}477 = 1\,772{,}4\\ \mathrm{kg/m^{2}}.
Somando dentro do parêntese:
1200 z + \frac{2\times 10^{8}\, z^{3}}{3} \approx 214\,809\,661{,}267\\ \mathrm{kg/m^{2}}.
Agora multiplique por g:
\Delta p = 9{,}8 \times 214\,809\,661{,}267 \approx 2\,105\,134\,680{,}413\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

Somar a pressão atmosférica p_{\text{atm}}=1\\ \mathrm{atm}=101325\\ \mathrm{Pa}:
p_{\text{total}} = p_{\text{atm}} + \Delta p \approx 101325 + 2\,105\,134\,680{,}413 \approx 2\,105\,236\,005{,}413\\ \mathrm{Pa}.
Converter para bar ( 1\\ \mathrm{bar}=10^{5}\\ \mathrm{Pa}):
p_{\text{total}}(\mathrm{bar}) = \frac{2\,105\,236\,005{,}413}{10^{5}} \approx 21\,052{,}360054133\\ \mathrm{bar}.
Arredondando para três casas decimais: 21\,052{,}360\\ \mathrm{bar}.

Resposta

\;21\,052{,}360\\ \text{bar}

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