Se um objeto desenvolve um movimento através de um campo de forças F tal que em cada ponto (x, y, z) sua velocidade é ortogonal à F(x, y, z). Mostre que o trabalho realizado por F sobre o objeto é zero.

Passo 1

Nesse exercício temos um objeto se movendo num campo de forças F(x,y,z) de tal forma que, em cada ponto, a velocidade do objeto é ortogonal a F. O conteúdo aqui é trabalho de uma força em um campo vetorial e vamos precisar usar a definição de trabalho como integral de linha e a propriedade do produto escalar que diz que vetores ortogonais têm produto escalar zero.

Passo 2

O trabalho W realizado pela força ao longo de uma trajetória C é definido por
W=integralCFcdot dr

Passo 3

Para calcular essa integral, parametrizamos a curva por um vetor posição r(t), com t variando de t0 até t1. A velocidade é v(t)=drdt e, portanto,
dr=v(t),dt

Passo 4

Como em todo instante v(t) é ortogonal a F(r(t)), temos
F(r(t))cdotv(t)=0

Passo 5

Substituindo na integral de trabalho, obtemos
W=integralt0^t1F(r(t))cdotv(t),dt=integralt0^t10,dt=0

Resposta

0

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