(Pólos e zeros) UM zero de uma funcos W=f(z) i um particolar numero complexo z0 in C tal que
f(z0)=0
Um pólo de ordem m de uma funcā w=f(z) é um número z0 in C tal que exista uma funca phi(z), analítica eve z0, com phi(z0) neq 0 e que
f(z)=phi(z)(z-z0)^m
(um pólo de ordem 1 é chamado de pólo simples). Calcule os zeras de f(z)=sen z e os zeros e pólos de f(z)=z+1z^2+9.

Passo 1

O exercício pede para calcular os zeros de f(z)=sin z e os zeros e polos de f(z)=z+1z^2+9. Vamos usar o conceito de zeros (valores de z que anulam a função) e de polos (singularidades onde a função tende a infinito), sabendo que zeros simples e polos simples correspondem a multiplicidade ou ordem igual a 1.

Passo 2

Para f(z)=sin z, lembramos que a função seno estendida ao plano complexo possui zeros exatamente onde seu argumento é múltiplo inteiro de pi. Em outras palavras,
sin z=0Long<=ftrightarrow z=kpi, kinZ,
e todos esses zeros são simples, porque sin z tem derivada cos z não nula em z=kpi.

Passo 3

Para f(z)=z+1z^2+9, encontramos primeiro os zeros resolvendo o numerador zero:
z+1=0Longrightarrow z=-1,
que é um zero simples. Em seguida, os polos aparecem onde o denominador se anula:
z^2+9=0Longrightarrow z=3i;ou;z=-3i,
e como o fator (z-3i)(z+3i) aparece em primeira potência, ambos são polos simples.

Resposta

Zeros de sin z: z=kpi,;kinZ, todos simples.
Para z+1z^2+9:
• Zero simples em z=-1.
• Polos simples em z=3i e z=-3i.

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