Um objeto desloca-se ao longo de uma linha reta orientada de tal forma que sua posição s (em metros) na reta em função do tempo t (em segundos) é dada por
s(t)=2 t^{3}-5 t^{2}+2 t+3 \quad, \quad t \in[0,10]
Qual a VELOCIDADE INSTANTÂNEA do objeto quando t=2 segundos?
(a) 6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
(b) 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
(c) \frac{3}{2} \mathrm{~m} / \mathrm{s}
(d) 0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
(e) Nenhuma das demais opções.

Passo 1

O enunciado nos dá a posição do objeto em função do tempo e pede a velocidade instantânea em um instante específico. Informações fornecidas:
  • Posição: s(t)=2 t^{3}-5 t^{2}+2 t+3, para t\in[0,10].
  • Pergunta: qual a velocidade instantânea do objeto quando t=2 segundos?
  • Alternativas:
    (a) 6\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}
    (b) 3\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}
    (c) \dfrac{3}{2}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}
    (d) 0\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}
    (e) Nenhuma das demais opções.

Passo 2

O que significa “velocidade instantânea”? Intuitivamente, é a taxa de variação da posição em relação ao tempo num instante preciso — basicamente “quão rápido a posição está mudando naquele exato segundo”. Matematicamente, a velocidade instantânea v(t) é definida como a derivada da posição em relação ao tempo:
v(t)=\lim_{h\to 0}\frac{s(t+h)-s(t)}{h}.
Esse limite dá a inclinação da curva s(t) no ponto t, isto é, a velocidade naquele instante.

Passo 3

Para calcular \,v(t)\, vamos derivar a função polinomial s(t). Em polinômios usamos regras simples:
  • Regra da soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas.
  • Regra do fator constante: a derivada de a\cdot f(t) é a\cdot f'(t).
  • Regra do potência (power rule): para f(t)=t^{n} com n inteiro positivo, f'(t)=n t^{n-1}.
Vamos justificar rapidamente a regra do potência para n=3 (isso ajuda a entender de onde vem a fórmula): usando a definição do limite,
\frac{d}{dt}t^{3}=\lim_{h\to 0}\frac{(t+h)^{3}-t^{3}}{h}.
Expandindo (t+h)^{3} (identidade do binômio):
(t+h)^{3}=t^{3}+3t^{2}h+3t h^{2}+h^{3}.
Substituindo na razão:
\frac{(t+h)^{3}-t^{3}}{h}=\frac{3t^{2}h+3t h^{2}+h^{3}}{h}=3t^{2}+3t h+h^{2}.
Tomando h\to 0 fica 3t^{2}. Logo \dfrac{d}{dt}t^{3}=3t^{2}. Essa é a versão concreta da regra do potência para n=3.

Passo 4

Agora aplicamos as regras termo a termo à função s(t)=2 t^{3}-5 t^{2}+2 t+3.
  • Derivada de 2 t^{3}: o coeficiente 2 permanece e a derivada de t^{3} é 3t^{2}, então dá 2\cdot 3t^{2}=6t^{2}.
  • Derivada de -5 t^{2}: dá -5\cdot 2t=-10t.
  • Derivada de 2 t: dá 2.
  • Derivada de 3 (constante): dá 0.
Somando tudo:
v(t)=s'(t)=6t^{2}-10t+2.

Passo 5

Agora avaliamos em t=2. Substituindo na expressão de v(t):
v(2)=6\cdot 2^{2}-10\cdot 2+2.
Calcule passo a passo:
2^{2}=4,
6\cdot 4=24,
10\cdot 2=20,
24-20+2=6.
Portanto a velocidade instantânea no instante t=2 é 6\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}. Isso significa que, naquele instante, o objeto se move no sentido positivo da reta com rapidez de 6\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}. Força e ânimo — ótima prática!

Resposta

(a) 6\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}

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