Um objeto desloca-se ao longo de uma linha reta orientada de tal forma que sua posição
(em metros) na reta em função do tempo
(em segundos) é dada por
Qual a VELOCIDADE INSTANTÂNEA do objeto quando
segundos?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Nenhuma das demais opções.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Nenhuma das demais opções.
Passo 1
O enunciado nos dá a posição do objeto em função do tempo e pede a velocidade instantânea em um instante específico. Informações fornecidas:
- Posição:
, para . - Pergunta: qual a velocidade instantânea do objeto quando
segundos? - Alternativas:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Nenhuma das demais opções.
Passo 2
O que significa “velocidade instantânea”? Intuitivamente, é a taxa de variação da posição em relação ao tempo num instante preciso — basicamente “quão rápido a posição está mudando naquele exato segundo”. Matematicamente, a velocidade instantânea
é definida como a derivada da posição em relação ao tempo:
Esse limite dá a inclinação da curva
no ponto
, isto é, a velocidade naquele instante.
Passo 3
Para calcular
vamos derivar a função polinomial
. Em polinômios usamos regras simples:
- Regra da soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas.
- Regra do fator constante: a derivada de
é . - Regra do potência (power rule): para
com inteiro positivo, .
Vamos justificar rapidamente a regra do potência para
(isso ajuda a entender de onde vem a fórmula): usando a definição do limite,
Expandindo
(identidade do binômio):
Substituindo na razão:
Tomando
fica
. Logo
. Essa é a versão concreta da regra do potência para
.
Passo 4
Agora aplicamos as regras termo a termo à função
.
- Derivada de
: o coeficiente permanece e a derivada de é , então dá . - Derivada de
: dá . - Derivada de
: dá . - Derivada de
(constante): dá .
Somando tudo:
Passo 5
Agora avaliamos em
. Substituindo na expressão de
:
Calcule passo a passo:
Portanto a velocidade instantânea no instante
é
. Isso significa que, naquele instante, o objeto se move no sentido positivo da reta com rapidez de
. Força e ânimo — ótima prática!
Resposta
(a)