(Resfriamento de um metal aquecido por radiação) Durante um experimento, observa-se que a taxa de variação da temperatura T(t) de uma placa metálica é inversamente proporcional à sua própria temperatura. Isto é, quanto mais quente a placa, mais lentamente ela se resfria. Escreva a equação diferencial que descreve a temperatura T(t) ao longo do tempo e depois determine a solução.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: escrever a equação diferencial que descreve a temperatura T(t) ao longo do tempo e determinar a solução dessa equação.
Informações fornecidas:
  • A taxa de variação da temperatura \dfrac{dT}{dt} é inversamente proporcional à própria temperatura T.
  • A placa está se resfriando, ou seja, a temperatura decresce com o tempo (portanto a derivada temporal é negativa).
  • Não foi dada uma condição inicial explícita no enunciado; vou indicar a solução geral e a solução com uma condição inicial genérica T(0)=T_0.

Passo 2

Traduzir a frase “taxa de variação é inversamente proporcional à temperatura” para matemática.
Proporcionalidade inversa significa que existe uma constante k tal que
\frac{dT}{dt}=k\frac{1}{T}.
Como o processo é de resfriamento, \dfrac{dT}{dt} deve ser negativo quando T>0. Por convenção escrevemos a constante de proporcionalidade como -\alpha com \alpha>0. Assim a equação diferencial fica
\frac{dT}{dt}=-\frac{\alpha}{T},
onde \alpha é uma constante positiva que mede a intensidade do resfriamento.

Passo 3

Identificar o tipo de equação e preparar para resolver: esta é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e é separável (ou seja, podemos colocar todos os termos com T de um lado e os termos com t do outro).
Passo de separação das variáveis:
\frac{dT}{dt}=-\frac{\alpha}{T} \quad\Longrightarrow\quad T\,dT=-\alpha\,dt.
Aqui coloquei T junto com dT e dt do outro lado, para integrar cada lado em sua variável.

Passo 4

Integrar ambos os lados para obter a relação entre T e t.
Integrando,
\int T\,dT=\int -\alpha\,dt.
O lado esquerdo integra para \dfrac{1}{2}T^2 e o direito para -\alpha t mais uma constante de integração C. Portanto
\frac{1}{2}T^2=-\alpha t + C.

Passo 5

Resolver para T(t) e usar uma condição inicial genérica.
Multiplicando por 2 e renomeando a constante ( C' = 2C) obtemos
T^2 = C' - 2\alpha t.
Tomando a raiz quadrada,
T(t)=\pm\sqrt{C' - 2\alpha t}.
Fisicamente, quando se fala de temperatura de uma placa usamos a rama positiva (assumindo T\ge 0), então
T(t)=\sqrt{C' - 2\alpha t}.
Se for dada uma condição inicial T(0)=T_0 então C'=T_0^2 e a solução com essa condição inicial é
T(t)=\sqrt{T_0^2 - 2\alpha t},
válida enquanto o conteúdo dentro da raiz for não negativo, isto é para
0 \le t \le \frac{T_0^2}{2\alpha}.
Nesse tempo a temperatura atinge zero; após isso o modelo com raiz real deixa de fazer sentido físico (ou precisa de interpretação diferente).

Passo 6

Comentários finais, interpretação e como determinar \alpha experimentalmente.
  • A constante \alpha>0 é o parâmetro de proporcionalidade do resfriamento. Se for conhecida a taxa inicial \left.\dfrac{dT}{dt}\right|_{t=0} e T_0, então
\left.\frac{dT}{dt}\right|_{t=0}=-\frac{\alpha}{T_0}
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\alpha = -T_0\left.\frac{dT}{dt}\right|_{t=0}.
  • Observe a característica física: quanto maior \,T, menor o valor absoluto de \dfrac{dT}{dt} (resfriamento mais lento quando está mais quente). A solução mostra que a temperatura decresce até zero em tempo finito \dfrac{T_0^2}{2\alpha} segundo este modelo simples.
  • Exemplo numérico rápido: se T_0=100 (unidades de temperatura) e \alpha=1, então T(t)=\sqrt{10000-2t} e a temperatura atinge zero em t=5000 (mesmas unidades de tempo).

Resposta

\frac{dT}{dt}=-\frac{\alpha}{T},\quad \alpha>0
T(t)=\sqrt{C' - 2\alpha t}\quad\text{(solução geral)}çã
T(t)=\sqrt{T_0^2 - 2\alpha t}\quad\text{(com }T(0)=T_0\text{)}

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