(Resfriamento de um metal aquecido por radiação) Durante um experimento, observa-se que a taxa de variação da temperatura
de uma placa metálica é inversamente proporcional à sua própria temperatura. Isto é, quanto mais quente a placa, mais lentamente ela se resfria. Escreva a equação diferencial que descreve a temperatura
ao longo do tempo e depois determine a solução.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: escrever a equação diferencial que descreve a temperatura
ao longo do tempo e determinar a solução dessa equação.
Informações fornecidas:
- A taxa de variação da temperatura
é inversamente proporcional à própria temperatura . - A placa está se resfriando, ou seja, a temperatura decresce com o tempo (portanto a derivada temporal é negativa).
- Não foi dada uma condição inicial explícita no enunciado; vou indicar a solução geral e a solução com uma condição inicial genérica
.
Passo 2
Traduzir a frase “taxa de variação é inversamente proporcional à temperatura” para matemática.
Proporcionalidade inversa significa que existe uma constante
tal que
Como o processo é de resfriamento,
deve ser negativo quando
. Por convenção escrevemos a constante de proporcionalidade como
com
. Assim a equação diferencial fica
onde
é uma constante positiva que mede a intensidade do resfriamento.
Passo 3
Identificar o tipo de equação e preparar para resolver: esta é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e é separável (ou seja, podemos colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro).
Passo de separação das variáveis:
Aqui coloquei
junto com
e
do outro lado, para integrar cada lado em sua variável.
Passo 4
Integrar ambos os lados para obter a relação entre
e
.
Integrando,
O lado esquerdo integra para
e o direito para
mais uma constante de integração
. Portanto
Passo 5
Resolver para
e usar uma condição inicial genérica.
Multiplicando por
e renomeando a constante (
) obtemos
Tomando a raiz quadrada,
Fisicamente, quando se fala de temperatura de uma placa usamos a rama positiva (assumindo
), então
Se for dada uma condição inicial
então
e a solução com essa condição inicial é
válida enquanto o conteúdo dentro da raiz for não negativo, isto é para
Nesse tempo a temperatura atinge zero; após isso o modelo com raiz real deixa de fazer sentido físico (ou precisa de interpretação diferente).
Passo 6
Comentários finais, interpretação e como determinar
experimentalmente.
- A constante
é o parâmetro de proporcionalidade do resfriamento. Se for conhecida a taxa inicial e , então
logo
- Observe a característica física: quanto maior
, menor o valor absoluto de (resfriamento mais lento quando está mais quente). A solução mostra que a temperatura decresce até zero em tempo finito segundo este modelo simples. - Exemplo numérico rápido: se
(unidades de temperatura) e , então e a temperatura atinge zero em (mesmas unidades de tempo).