Em cada um dos Problemas I a 10, encontre a soluçao geral da equaçao diferencial dada.
Sugestão:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
Informações dadas:
- A equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo (forçamento) é
. - Foi dada uma “sugestão” escrevendo
, que é a definição de (hiperbólica). Essa sugestão não é necessária aqui porque o lado direito envolve função trigonométrica , não .
O que se pede: obter a solução geral
, isto é, a soma da solução geral da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação não-homogênea.
Passo 2
Plano (explicação didática do método que vou usar):
- Primeiro resolvo a equação homogênea associada
obtendo a solução geral homogênea
.
- Depois procuro uma solução particular
da equação completa usando o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients). Esse método consiste em tentar uma forma para construída a partir do tipo do termo forçante; como o forçamento é uma combinação de e (aqui apenas ), tento e determino impondo a igualdade da equação. - Finalmente a solução geral é
.
Observação sobre ressonância (por que escolhi
): devo verificar se
(as raízes associadas à frequência
) são raízes do polinômio característico. Se fossem, haveria ressonância e a forma tentativa teria que ser multiplicada por
. Vou checar isso ao resolver a homogênea.
Passo 3
Resolver a equação homogênea por caract. — calcular as raízes do polinômio característico.
A equação característica é
Use a fórmula quadrática:
Portanto as raízes são complexas conjugadas com parte real
e parte imaginária
.
Passo 4
Construir a solução geral da homogênea a partir das raízes complexas (explicação didática).
- Para raízes
a solução homogênea real é
onde
são constantes arbitrárias.
- Aqui
e . Logo
Comentário: como as raízes não são
, não há ressonância com a frequência
; isso justifica usar
para a parte particular sem multiplicar por
.
Passo 5
Escolher forma tentativa para a solução particular (explicação didática do porquê).
- O forçamento é
. O método dos coeficientes a determinar recomenda tentar
porque derivadas de
e
voltam a ser combinações de
e
, logo a substituição gera um sistema linear para
.
Passo 6
Calcular
e
e substituir na equação para determinar
.
Derivadas:
Substituindo em
:
Agrupando os coeficientes de
e
:
- coeficiente de
: , - coeficiente de
: .
Logo
Queremos que isso seja igual a
, ou seja
Isto dá o sistema linear para
:
Passo 7
Resolver o sistema para
(passo a passo).
Da primeira equação . Substituindo na segunda:
Da primeira equação
Logo
E
Portanto a solução particular é
Passo 8
Escrever a solução geral e comentar rapidamente como proceder para determinar constantes se houver condições iniciais.
A solução geral é a soma da homogênea e da particular:
onde
são constantes arbitrárias que seriam determinadas por condições iniciais, se fornecidas.
Dica prática para a prova: sempre faça a verificação rápida de ressonância comparando as raízes do polinômio característico com
quando o forçamento for
ou
. Se houver igualdade, multiplica-se a forma tentativa por
(ou por
se a igualdade tiver multiplicidade
).