Em cada um dos Problemas I a 10, encontre a soluçao geral da equaçao diferencial dada.
y^{\prime \prime}+y^{\prime}+4 y=2 \operatorname{sen} t Sugestão: \operatorname{senh} t=\left(e^{t}-e^{-t}\right) / 2

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
y'' + y' + 4y = 2\operatorname{sen} t.
Informações dadas:
  • A equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo (forçamento) é 2\operatorname{sen} t.
  • Foi dada uma “sugestão” escrevendo \operatorname{senh} t=(e^{t}-e^{-t})/2, que é a definição de \operatorname{sinh} t (hiperbólica). Essa sugestão não é necessária aqui porque o lado direito envolve função trigonométrica \operatorname{sen} t, não \operatorname{senh} t.
O que se pede: obter a solução geral y(t), isto é, a soma da solução geral da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação não-homogênea.

Passo 2

Plano (explicação didática do método que vou usar):
  • Primeiro resolvo a equação homogênea associada
y''+y'+4y=0,
obtendo a solução geral homogênea y_h(t).
  • Depois procuro uma solução particular y_p(t) da equação completa usando o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients). Esse método consiste em tentar uma forma para y_p construída a partir do tipo do termo forçante; como o forçamento é uma combinação de \cos t e \sin t (aqui apenas \sin t), tento y_p(t)=A\cos t + B\sin t e determino A,B impondo a igualdade da equação.
  • Finalmente a solução geral é y(t)=y_h(t)+y_p(t).
Observação sobre ressonância (por que escolhi A\cos t+B\sin t): devo verificar se \pm i (as raízes associadas à frequência 1) são raízes do polinômio característico. Se fossem, haveria ressonância e a forma tentativa teria que ser multiplicada por t. Vou checar isso ao resolver a homogênea.

Passo 3

Resolver a equação homogênea por caract. — calcular as raízes do polinômio característico.
A equação característica é
r^{2}+r+4=0.
Use a fórmula quadrática:
r=\frac{-1\pm\sqrt{1-16}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{-15}}{2}=\frac{-1\pm i\sqrt{15}}{2}.
Portanto as raízes são complexas conjugadas com parte real -\tfrac{1}{2} e parte imaginária \pm \tfrac{\sqrt{15}}{2}.

Passo 4

Construir a solução geral da homogênea a partir das raízes complexas (explicação didática).
  • Para raízes r=\alpha\pm i\beta a solução homogênea real é
y_h(t)=e^{\alpha t}\big(C_{1}\cos(\beta t)+C_{2}\sin(\beta t)\big),
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.
  • Aqui \alpha=-\tfrac{1}{2} e \beta=\tfrac{\sqrt{15}}{2}. Logo
y_h(t)=e^{-t/2}\Big(C_{1}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{15}}{2}t\big)+C_{2}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{15}}{2}t\big)\Big).
Comentário: como as raízes não são \pm i, não há ressonância com a frequência 1; isso justifica usar A\cos t+B\sin t para a parte particular sem multiplicar por t.

Passo 5

Escolher forma tentativa para a solução particular (explicação didática do porquê).
  • O forçamento é 2\operatorname{sen} t. O método dos coeficientes a determinar recomenda tentar
y_p(t)=A\cos t + B\sin t,
porque derivadas de \cos t e \sin t voltam a ser combinações de \cos t e \sin t, logo a substituição gera um sistema linear para A,B.

Passo 6

Calcular y_p' e y_p'' e substituir na equação para determinar A,B.
Derivadas:
y_p(t)=A\cos t + B\sin t,
y_p'(t)=-A\sin t + B\cos t,
y_p''(t)=-A\cos t - B\sin t.
Substituindo em y''+y'+4y:
y_p''+y_p'+4y_p = (-A\cos t - B\sin t) + (-A\sin t + B\cos t) + 4(A\cos t + B\sin t).
Agrupando os coeficientes de \cos t e \sin t:
  • coeficiente de \cos t: -A + B + 4A = 3A + B,
  • coeficiente de \sin t: -B - A + 4B = -A + 3B.
Logo
y_p''+y_p'+4y_p = (3A+B)\cos t + (-A+3B)\sin t.
Queremos que isso seja igual a 2\operatorname{sen} t, ou seja
(3A+B)\cos t + (-A+3B)\sin t = 0\cdot\cos t + 2\cdot\sin t.
Isto dá o sistema linear para A,B:
\begin{cases} 3A + B = 0,\\[4pt] -A + 3B = 2. \end{cases}]

Passo 7

Resolver o sistema para A,B (passo a passo).
Da primeira equação B=-3A. Substituindo na segunda:
-A + 3(-3A) = 2 \quad\Rightarrow\quad -A -9A = 2 \quad\Rightarrow\quad -10A = 2.
Logo
A = -\tfrac{1}{5}.
E
B = -3A = -3\left(-\tfrac{1}{5}\right)=\tfrac{3}{5}.
Portanto a solução particular é
y_p(t) = -\tfrac{1}{5}\cos t + \tfrac{3}{5}\sin t.

Passo 8

Escrever a solução geral e comentar rapidamente como proceder para determinar constantes se houver condições iniciais.
A solução geral é a soma da homogênea e da particular:
y(t)=y_h(t)+y_p(t) = e^{-t/2}\Big(C_{1}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{15}}{2}t\big)+C_{2}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{15}}{2}t\big)\Big) -\tfrac{1}{5}\cos t + \tfrac{3}{5}\sin t,
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias que seriam determinadas por condições iniciais, se fornecidas.
Dica prática para a prova: sempre faça a verificação rápida de ressonância comparando as raízes do polinômio característico com i\omega quando o forçamento for \cos(\omega t) ou \sin(\omega t). Se houver igualdade, multiplica-se a forma tentativa por t (ou por t^{m} se a igualdade tiver multiplicidade m).

Resposta

y(t)=e^{-t/2}\Big(C_{1}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{15}}{2}t\big)+C_{2}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{15}}{2}t\big)\Big)-\tfrac{1}{5}\cos t+\tfrac{3}{5}\sin t

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