Um objeto de dimensões desprezíveis parte do repouso e realiza um movimento retilíneo uniformemente variado durante o qual descreve um deslocamento igual a \Delta x em intervalo de tempo igual a t_{1}. O mesmo objeto partindo do repouso e realizando um movimento retilíneo uniformemente variado com o dobro da aceleração completará o mesmo deslocamento \Delta x em um intervalo de tempo igual a
a) \frac{t_{1}}{2}
b) \frac{t_{1}}{3}
c) \frac{t_{1}}{4}
d) \frac{\sqrt{2}}{2} t_{1}
e) \sqrt{2} t_{1}

Passo 1

O enunciado dá um objeto que parte do repouso e realiza um movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV). As informações relevantes são:
  • O deslocamento realizado em um primeiro experimento é \Delta x e o tempo gasto é t_{1}.
  • No primeiro experimento a aceleração é algum valor a (não dado numericamente).
  • No segundo experimento o objeto também parte do repouso, realiza MRUV com aceleração igual ao dobro da anterior, isto é 2a, e percorre o mesmo deslocamento \Delta x.
    A pergunta: qual é o tempo (em função de t_{1}) que o segundo experimento leva para completar \Delta x? (opções dadas: a) \dfrac{t_{1}}{2}; b) \dfrac{t_{1}}{3}; c) \dfrac{t_{1}}{4}; d) \dfrac{\sqrt{2}}{2} t_{1}; e) \sqrt{2}\,t_{1}.)

Passo 2

Relembrando a fórmula básica do MRUV quando o móvel parte do repouso: a equação do deslocamento em função do tempo e da aceleração é
\Delta x = \frac{1}{2}\,a\,t^{2}.
Explicando essa fórmula: \Delta x é o deslocamento (distância percorrida ao longo da reta), a é a aceleração constante, e t é o intervalo de tempo desde o repouso. A derivação rápida (só para entendimento) vem de que a velocidade inicial v_0=0, a velocidade em função do tempo é v(t)=v_0+at=at, e o deslocamento é a integral da velocidade: \Delta x=\int_0^t v(t')\,dt'=\int_0^t at'\,dt'=\tfrac{1}{2}at^2.

Passo 3

Aplicar a fórmula ao primeiro experimento (aceleração a e tempo t_{1}):
\Delta x = \frac{1}{2}\,a\,t_{1}^{2}.
Essa é a relação que liga \Delta x, a e t_{1}.

Passo 4

Aplicar a mesma fórmula ao segundo experimento (aceleração 2a e tempo que chamaremos de t_{2}):
\Delta x = \frac{1}{2}\,(2a)\,t_{2}^{2} = a\,t_{2}^{2}.
Aqui explicito que usei o valor da aceleração dado no enunciado ( 2a).

Passo 5

Como os dois experimentos percorrem o mesmo deslocamento \Delta x, igualamos as duas expressões:
\frac{1}{2}\,a\,t_{1}^{2} = a\,t_{2}^{2}.
Podemos simplificar a dos dois lados (assumindo a\neq0):
\frac{1}{2}\,t_{1}^{2} = t_{2}^{2}.

Passo 6

Resolver para t_{2}:
t_{2}^{2} = \frac{1}{2}\,t_{1}^{2} \quad\Rightarrow\quad t_{2} = \sqrt{\frac{1}{2}}\,t_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}\,t_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}\,t_{1}.
Escolhi a raiz positiva porque tempos são não negativos.

Passo 7

Interpretação rápida (intuitiva): como \Delta x escala com a\,t^{2}, dobrar a permite reduzir t por um fator \sqrt{2} para manter o mesmo \Delta x. Isso confirma a solução encontrada.

Resposta

d) \dfrac{\sqrt{2}}{2}\,t_{1}

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