Duas massas de argila de massa m e velocidade v=\frac{2}{3} c que se colidem e se “fundem” formando uma massa M final. Calcule M em função de m.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (assumo a interpretação natural de “colidem”: as duas massas vêm em direções opostas com a mesma rapidez):
  • Duas partículas (blocos de argila) idênticas, cada uma com massa m.
  • Velocidade de cada uma, em módulo, \,v=\dfrac{2}{3}c\,.
  • As duas se chocam e se “fundem” (colisão completamente inelástica), formando uma única massa final M.
    O que é pedido:
  • Calcular M em função de m.

Passo 2

Princípios físicos que vamos usar e fórmulas importantes (explicadas devagar).
  • Conservação total de energia relativística: a energia total do sistema antes do choque é igual à energia total depois do choque.
  • Conservação do momento linear relativístico: o momento total antes é igual ao momento total depois.
  • Energia relativística de uma partícula de massa de repouso m e velocidade v:
E=\gamma m c^{2},
onde \gamma é o fator de Lorentz definido por
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
Explicação: \gamma mede a dilatação relativística; quando v é pequeno comparado a c, \gamma\approx1, e para velocidades relativísticas \gamma>1.
  • Momento linear relativístico de uma partícula:
p=\gamma m v.
Significado: energia e momento são as quantidades conservadas apropriadas na Relatividade Especial; para massas ligadas depois do choque, a energia cinética pode aumentar a massa de repouso do sistema final.

Passo 3

Análise do problema com simetria e conservação do momento.
  • As duas massas têm velocidades de mesmo módulo e em sentidos opostos (assumido por “colidem”). Portanto, os momenta individuais são iguais em magnitude e opostos em direção. Logo o momento total inicial é zero:
p_{\text{total, inicial}}= \gamma m v + \bigl(-\gamma m v\bigr)=0.
  • Depois do choque, como o momento total inicial é zero e o momento total é conservado, o corpo resultante não pode ter momento linear; isto significa que o corpo final está em repouso no referencial onde foram medidas as velocidades iniciais. Assim o momento final é zero também.

Passo 4

Aplicando conservação de energia para obter M.
  • Energia total inicial: cada bloco tem energia E=\gamma m c^{2}, logo a energia total inicial é
E_{\text{inicial}}=2\gamma m c^{2}.
  • Energia final: o corpo resultante de massa de repouso M está em repouso (conforme Passo 3), então sua energia é sua energia de repouso:
E_{\text{final}}=M c^{2}.
  • Igualando as energias (conservação de energia):
M c^{2}=2\gamma m c^{2}.
  • Cancelando c^{2} e resolvendo para M:
M=2\gamma m.
Isto já é uma expressão geral: a massa final é 2\gamma vezes a massa de cada bloco. Físicamente, a energia cinética inicial se transformou em aumento da massa de repouso do conjunto.

Passo 5

Calcular \gamma para \,v=\dfrac{2}{3}c\, e obter M em função de m explicitamente.
  • Primeiro calcule \dfrac{v^{2}}{c^{2}}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}=\dfrac{4}{9}.
  • Então
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{4}{9}}}=\frac{1}{\sqrt{\dfrac{5}{9}}}=\frac{1}{\dfrac{\sqrt{5}}{3}}=\frac{3}{\sqrt{5}}.
  • Substituindo em M=2\gamma m:
M=2\cdot\frac{3}{\sqrt{5}}\,m=\frac{6}{\sqrt{5}}\,m.
  • Opcionalmente racionalizando o denominador:
M=\frac{6\sqrt{5}}{5}\,m.
  • Valor aproximado (para intuição):
M\approx 2,6833\,m.

Passo 6

Interpretação física curta e encorajamento.
  • Resultado: M>2m. Em Relatividade, a energia cinética inicial contribui para a energia total e, num choque perfeitamente inelástico onde objetos grudam, essa energia cinética aparece como aumento da massa de repouso do conjunto. Não se esqueça disso na prova: massa do sistema pode aumentar porque energia total aumenta.
  • Você está indo bem; esse tipo de cálculo é direto quando lembra de conservar momento e energia relativísticos e de usar \gamma. Respira fundo e repete o passo a passo uma vez que decorar a fórmula.

Resposta

M=\dfrac{6}{\sqrt{5}}\,m=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}\,m\approx2,6833\,m

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