Duas massas de argila de massa m e velocidade
que se colidem e se “fundem” formando uma massa M final. Calcule M em função de m.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (assumo a interpretação natural de “colidem”: as duas massas vêm em direções opostas com a mesma rapidez):
- Duas partículas (blocos de argila) idênticas, cada uma com massa
. - Velocidade de cada uma, em módulo,
. - As duas se chocam e se “fundem” (colisão completamente inelástica), formando uma única massa final
.
O que é pedido: - Calcular
em função de .
Passo 2
Princípios físicos que vamos usar e fórmulas importantes (explicadas devagar).
- Conservação total de energia relativística: a energia total do sistema antes do choque é igual à energia total depois do choque.
- Conservação do momento linear relativístico: o momento total antes é igual ao momento total depois.
- Energia relativística de uma partícula de massa de repouso
e velocidade :
onde
é o fator de Lorentz definido por
Explicação:
mede a dilatação relativística; quando
é pequeno comparado a
,
, e para velocidades relativísticas
.
- Momento linear relativístico de uma partícula:
Significado: energia e momento são as quantidades conservadas apropriadas na Relatividade Especial; para massas ligadas depois do choque, a energia cinética pode aumentar a massa de repouso do sistema final.
Passo 3
Análise do problema com simetria e conservação do momento.
- As duas massas têm velocidades de mesmo módulo e em sentidos opostos (assumido por “colidem”). Portanto, os momenta individuais são iguais em magnitude e opostos em direção. Logo o momento total inicial é zero:
- Depois do choque, como o momento total inicial é zero e o momento total é conservado, o corpo resultante não pode ter momento linear; isto significa que o corpo final está em repouso no referencial onde foram medidas as velocidades iniciais. Assim o momento final é zero também.
Passo 4
Aplicando conservação de energia para obter
.
- Energia total inicial: cada bloco tem energia
, logo a energia total inicial é
- Energia final: o corpo resultante de massa de repouso
está em repouso (conforme Passo 3), então sua energia é sua energia de repouso:
- Igualando as energias (conservação de energia):
- Cancelando
e resolvendo para :
Isto já é uma expressão geral: a massa final é
vezes a massa de cada bloco. Físicamente, a energia cinética inicial se transformou em aumento da massa de repouso do conjunto.
Passo 5
Calcular
para
e obter
em função de
explicitamente.
- Primeiro calcule
. - Então
- Substituindo em
:
- Opcionalmente racionalizando o denominador:
- Valor aproximado (para intuição):
Passo 6
Interpretação física curta e encorajamento.
- Resultado:
. Em Relatividade, a energia cinética inicial contribui para a energia total e, num choque perfeitamente inelástico onde objetos grudam, essa energia cinética aparece como aumento da massa de repouso do conjunto. Não se esqueça disso na prova: massa do sistema pode aumentar porque energia total aumenta. - Você está indo bem; esse tipo de cálculo é direto quando lembra de conservar momento e energia relativísticos e de usar
. Respira fundo e repete o passo a passo uma vez que decorar a fórmula.