Um gás ideal sofre uma transformação hipotética do tipo:
constante. No estado inicial (i) o gás possui uma pressão
litros e
. No estado final (f) o gás possui um volume
litros. Nessas condições, calcule (a) a pressão (atm) e a temperatura final (
) do gás, (b) o trabalho realizado sobre a vizinhança na expansão e (c) a quantidade de calor trocada pelo gás com a vizinhança.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação do gás do tipo
constante e os estados inicial e final. Vou listar claramente os dados e o que é pedido.
Dados fornecidos:
- Estado inicial (i):
, , . - Estado final (f):
. - A transformação satisfaz
constante (isso significa que com constante).
O que pede o enunciado:
(a) calcular a pressão final (em atm) e a temperatura final em
;
(b) calcular o trabalho realizado sobre a vizinhança na expansão (isto é, o trabalho realizado pelo gás, em Joules);
(c) calcular a quantidade de calor trocada pelo gás com a vizinhança (em Joules).
(a) calcular a pressão final
(b) calcular o trabalho realizado sobre a vizinhança na expansão (isto é, o trabalho realizado pelo gás, em Joules);
(c) calcular a quantidade de calor trocada
Passo 2
Determinar a constante
da transformação e a pressão final
.
Explicação/conceito usado: a expressão
constante significa que existe uma constante
tal que
Podemos obter
usando o estado inicial:
Cálculo numérico (peguei
e
do enunciado):
Agora a pressão final
é
Cálculo (usei
):
Observação rápida (razão prática): como
aumentou por um fator
(
), a raiz aumentou por fator
, logo a pressão caiu pela metade (
).
Passo 3
Calcular a temperatura final
e convertê-la para
.
Conceito usado: para gás ideal vale a lei dos gases ideais
. Para um mesmo número de mols
, o produto
é proporcional à temperatura
. Assim
Cálculo (usei os valores obtidos e dados do enunciado):
Converter para graus Celsius:
Passo 4
Calcular o trabalho realizado pelo gás durante a expansão.
Conceito usado: trabalho realizado pelo gás ao expandir de
para
é
Como
, substituímos e integramos:
Cálculo numérico em unidades
(usei
do Passo 2):
Conversão para joules:
. Logo
Então o trabalho realizado sobre a vizinhança (trabalho positivo realizado pelo gás) é
(ou
).
Passo 5
Calcular a quantidade de calor
trocada com a vizinhança (primeira lei da termodinâmica) e discutir a dependência do resultado em relação ao tipo do gás.
Conceitos usados:
- Primeira lei:
, com trabalho feito pelo gás. Rearranjando: . - Para gás ideal,
, onde é a capacidade térmica molar a volume constante. Para gás ideal monótono, depende de via (molar). - Também usamos que
.
Derivação de uma expressão geral (em termos de
e do expoente politrópico
— neste problema
):
Como
, temos
O trabalho, para um processo politrópico
const (com
), pode ser escrito em termos de
:
Logo
Combinando os termos:
No nosso caso
, portanto
Observação importante: a quantidade de calor
depende do valor de
(ou seja, do tipo de gás: monoatômico, diatômico, …). O enunciado não especifica
, então não existe um único valor numérico de
sem assumir o tipo de gás. Vou, portanto:
- mostrar a quantidade
em unidades de energia, e - mostrar
numericamente para dois casos comuns: monoatômico ( ) e diatômico (valor usual aproximado ).
Cálculo de
e conversão para joules (peguei
e
do Passo 3):
Em joules:
Cálculo para
(gás monoatômico):
Arredondando:
para gás monoatômico.
Cálculo para
(gás diatômico típico):
Arredondando:
para gás diatômico.
Comentário final sobre a ambiguidade: se o problema espera um único valor de
, teria de especificar
(ou dizer se o gás é monoatômico/diatômico). Sem essa informação, forneci a expressão geral e dois valores para os casos mais comuns.
Resposta
(a)
;
(b) (trabalho realizado sobre a vizinhança, positivo).
(c) (em particular, com
isto reduz a
). Numericalmente:
(b)
(c)
- para gás monoatômico (
): - para gás diatômico (
):