Um gás ideal sofre uma transformação hipotética do tipo: \mathrm{P} \cdot \mathrm{V}^{1 / 2}= constante. No estado inicial (i) o gás possui uma pressão \mathrm{P}=6,0 \mathrm{~atm}, \mathrm{~V}=30,0 litros e \mathrm{T}=240 \mathrm{~K}. No estado final (f) o gás possui um volume \mathrm{V}=120 litros. Nessas condições, calcule (a) a pressão (atm) e a temperatura final ( { }^{\circ} \mathrm{C} ) do gás, (b) o trabalho realizado sobre a vizinhança na expansão e (c) a quantidade de calor trocada pelo gás com a vizinhança.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação do gás do tipo \mathrm{P}\,\mathrm{V}^{1/2}= constante e os estados inicial e final. Vou listar claramente os dados e o que é pedido.
Dados fornecidos:
  • Estado inicial (i): \mathrm{P}_i=6{,}0\\ \mathrm{atm}, \mathrm{V}_i=30{,}0\\ \mathrm{L}, \mathrm{T}_i=240\\ \mathrm{K}.
  • Estado final (f): \mathrm{V}_f=120\\ \mathrm{L}.
  • A transformação satisfaz \mathrm{P}\,\mathrm{V}^{1/2}= constante (isso significa que \mathrm{P}=C\,\mathrm{V}^{-1/2} com C constante).
O que pede o enunciado:
(a) calcular a pressão final \mathrm{P}_f (em atm) e a temperatura final em {}^\circ\mathrm{C};
(b) calcular o trabalho realizado sobre a vizinhança na expansão (isto é, o trabalho realizado pelo gás, em Joules);
(c) calcular a quantidade de calor trocada Q pelo gás com a vizinhança (em Joules).

Passo 2

Determinar a constante C da transformação e a pressão final \mathrm{P}_f.
Explicação/conceito usado: a expressão \mathrm{P}\,\mathrm{V}^{1/2}= constante significa que existe uma constante C tal que
\mathrm{P}=C\,\mathrm{V}^{-1/2}.
Podemos obter C usando o estado inicial:
C=\mathrm{P}_i\,\mathrm{V}_i^{1/2}.
Cálculo numérico (peguei \mathrm{P}_i e \mathrm{V}_i do enunciado):
C = 6{,}0\cdot\sqrt{30{,}0}\\ \mathrm{(atm\cdot L^{1/2})}.
\sqrt{30{,}0}\approx5{,}477225575, então
C \approx 6{,}0\times5{,}477225575 \approx 32{,}86335345\\ \mathrm{atm\cdot L^{1/2}}.
Agora a pressão final \mathrm{P}_f é
\mathrm{P}_f = \frac{C}{\sqrt{\mathrm{V}_f}}.
Cálculo (usei \mathrm{V}_f=120\\ \mathrm{L}):
\sqrt{120}\approx10{,}95445115, \qquad \mathrm{P}_f \approx \frac{32{,}86335345}{10{,}95445115}\approx3{,}0\\ \mathrm{atm}.
Observação rápida (razão prática): como \mathrm{V} aumentou por um fator 4 ( 30\to120), a raiz aumentou por fator 2, logo a pressão caiu pela metade ( 6{,}0\to3{,}0\\ \mathrm{atm}).

Passo 3

Calcular a temperatura final \mathrm{T}_f e convertê-la para {}^\circ\mathrm{C}.
Conceito usado: para gás ideal vale a lei dos gases ideais \mathrm{P}\mathrm{V}=nR\mathrm{T}. Para um mesmo número de mols n, o produto \mathrm{P}\mathrm{V} é proporcional à temperatura \mathrm{T}. Assim
\frac{\mathrm{T}_f}{\mathrm{T}_i}=\frac{\mathrm{P}_f\mathrm{V}_f}{\mathrm{P}_i\mathrm{V}_i}.
Cálculo (usei os valores obtidos e dados do enunciado):
\mathrm{P}_i\mathrm{V}_i = 6{,}0\times30{,}0 = 180\\ \mathrm{atm\cdot L}, \qquad \mathrm{P}_f\mathrm{V}_f = 3{,}0\times120 = 360\\ \mathrm{atm\cdot L}.
\mathrm{T}_f = \mathrm{T}_i\cdot\frac{360}{180}=240\cdot2 =480\\ \mathrm{K}.
Converter para graus Celsius:
\mathrm{T}_f({}^\circ\mathrm{C})=480-273{,}15=206{,}85\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Calcular o trabalho realizado pelo gás durante a expansão.
Conceito usado: trabalho realizado pelo gás ao expandir de \mathrm{V}_i para \mathrm{V}_f é
W=\int_{\mathrm{V}_i}^{\mathrm{V}_f} \mathrm{P}\,d\mathrm{V}.
Como \mathrm{P}=C\,\mathrm{V}^{-1/2}, substituímos e integramos:
W=\int_{\mathrm{V}_i}^{\mathrm{V}_f} C\,\mathrm{V}^{-1/2}\,d\mathrm{V} = C\cdot\left[2\mathrm{V}^{1/2}\right]_{\mathrm{V}_i}^{\mathrm{V}_f} =2C\left(\sqrt{\mathrm{V}_f}-\sqrt{\mathrm{V}_i}\right).
Cálculo numérico em unidades \mathrm{L\cdot atm} (usei C do Passo 2):
W = 2\times32{,}86335345\times\bigl(\sqrt{120}-\sqrt{30}\bigr) =65{,}7267069\times(10{,}95445115-5{,}477225575) \approx360\\ \mathrm{L\cdot atm}.
Conversão para joules: 1\\ \mathrm{L\cdot atm}=101{,}325\\ \mathrm{J}. Logo
W \approx 360\times101{,}325 \approx 36\,477\\ \mathrm{J}.
Então o trabalho realizado sobre a vizinhança (trabalho positivo realizado pelo gás) é W\approx3{,}65\times10^{4}\\ \mathrm{J} (ou 36{,}5\\ \mathrm{kJ}).

Passo 5

Calcular a quantidade de calor Q trocada com a vizinhança (primeira lei da termodinâmica) e discutir a dependência do resultado em relação ao tipo do gás.
Conceitos usados:
  • Primeira lei: \Delta U = Q - W, com W trabalho feito pelo gás. Rearranjando: Q=\Delta U + W.
  • Para gás ideal, \Delta U = n\,C_V\,(\mathrm{T}_f-\mathrm{T}_i), onde C_V é a capacidade térmica molar a volume constante. Para gás ideal monótono, C_V depende de \gamma via C_V=\dfrac{R}{\gamma-1} (molar).
  • Também usamos que nR(\mathrm{T}_f-\mathrm{T}_i)=\mathrm{P}_f\mathrm{V}_f-\mathrm{P}_i\mathrm{V}_i.
Derivação de uma expressão geral (em termos de \gamma e do expoente politrópico n — neste problema n=\tfrac12):
\Delta U = n_{\text{mol}}C_V(\mathrm{T}_f-\mathrm{T}_i) = \frac{C_V}{R}\bigl(\mathrm{P}_f\mathrm{V}_f-\mathrm{P}_i\mathrm{V}_i\bigr).
Como C_V/R=\dfrac{1}{\gamma-1}, temos
\Delta U = \frac{\mathrm{P}_f\mathrm{V}_f-\mathrm{P}_i\mathrm{V}_i}{\gamma-1}.
O trabalho, para um processo politrópico \mathrm{P}\mathrm{V}^{n}= const (com n\neq1), pode ser escrito em termos de \mathrm{P} \mathrm{V}:
W=\frac{\mathrm{P}_f\mathrm{V}_f-\mathrm{P}_i\mathrm{V}_i}{1-n}.
Logo
Q=\Delta U + W = \bigl(\mathrm{P}_f\mathrm{V}_f-\mathrm{P}_i\mathrm{V}_i\bigr)\left(\frac{1}{\gamma-1}+\frac{1}{1-n}\right).
Combinando os termos:
Q = \bigl(\mathrm{P}_f\mathrm{V}_f-\mathrm{P}_i\mathrm{V}_i\bigr)\cdot\frac{\gamma-n}{(\gamma-1)(1-n)}.
No nosso caso n=\tfrac12, portanto
Q = \bigl(\mathrm{P}_f\mathrm{V}_f-\mathrm{P}_i\mathrm{V}_i\bigr)\cdot\frac{\gamma-\tfrac12}{(\gamma-1)\cdot\tfrac12} =2\bigl(\mathrm{P}_f\mathrm{V}_f-\mathrm{P}_i\mathrm{V}_i\bigr)\cdot\frac{\gamma-\tfrac12}{\gamma-1}.
Observação importante: a quantidade de calor Q depende do valor de \gamma (ou seja, do tipo de gás: monoatômico, diatômico, …). O enunciado não especifica \gamma, então não existe um único valor numérico de Q sem assumir o tipo de gás. Vou, portanto:
  • mostrar a quantidade \mathrm{P}_f\mathrm{V}_f-\mathrm{P}_i\mathrm{V}_i em unidades de energia, e
  • mostrar Q numericamente para dois casos comuns: monoatômico ( \gamma=\tfrac{5}{3}) e diatômico (valor usual aproximado \gamma=\tfrac{7}{5}).
Cálculo de \mathrm{P}_f\mathrm{V}_f-\mathrm{P}_i\mathrm{V}_i e conversão para joules (peguei \mathrm{P}_i\mathrm{V}_i e \mathrm{P}_f\mathrm{V}_f do Passo 3):
\mathrm{P}_f\mathrm{V}_f-\mathrm{P}_i\mathrm{V}_i = 360-180 = 180\\ \mathrm{atm\cdot L}.
Em joules:
180\\ \mathrm{L\cdot atm}\times101{,}325\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{L\cdot atm}} \approx18\,238{,}5\\ \mathrm{J}.
Cálculo para \gamma=\tfrac{5}{3} (gás monoatômico):
Q = 2\cdot18\,238{,}5\cdot\frac{\tfrac{5}{3}-\tfrac12}{\tfrac{5}{3}-1} =36\,477\cdot\frac{1{,}166666\ldots}{0{,}666666\ldots} =36\,477\times1{,}75\approx63\,834{,}8\\ \mathrm{J}.
Arredondando: Q\approx6{,}38\times10^{4}\\ \mathrm{J} para gás monoatômico.
Cálculo para \gamma=\tfrac{7}{5}=1{,}4 (gás diatômico típico):
Q = 36\,477\cdot\frac{1{,}4-\tfrac12}{1{,}4-1}=36\,477\cdot\frac{0{,}9}{0{,}4}=36\,477\times2{,}25\approx82\,073{,}3\\ \mathrm{J}.
Arredondando: Q\approx8{,}21\times10^{4}\\ \mathrm{J} para gás diatômico.
Comentário final sobre a ambiguidade: se o problema espera um único valor de Q, teria de especificar \gamma (ou dizer se o gás é monoatômico/diatômico). Sem essa informação, forneci a expressão geral e dois valores para os casos mais comuns.

Resposta

(a) \mathrm{P}_f = 3{,}0\\ \mathrm{atm}; \mathrm{T}_f = 206{,}85^\circ\mathrm{C}.
(b) W = 3{,}65\times10^{4}\\ \mathrm{J} (trabalho realizado sobre a vizinhança, positivo).
(c) Q = \dfrac{\mathrm{P}_f\mathrm{V}_f-\mathrm{P}_i\mathrm{V}_i}{\gamma-1}\!+\!\dfrac{\mathrm{P}_f\mathrm{V}_f-\mathrm{P}_i\mathrm{V}_i}{1-n} (em particular, com n=\tfrac12 isto reduz a Q=2(\mathrm{P}_f\mathrm{V}_f-\mathrm{P}_i\mathrm{V}_i)\dfrac{\gamma-\tfrac12}{\gamma-1}). Numericalmente:
  • para gás monoatômico ( \gamma=\tfrac{5}{3}): Q\approx6{,}38\times10^{4}\\ \mathrm{J}.
  • para gás diatômico ( \gamma=\tfrac{7}{5}): Q\approx8{,}21\times10^{4}\\ \mathrm{J}.

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