Um objeto é lançado para cima com uma velocidade, em pés por segundo, dada por v(t)=32 t+96; de uma altura de 64 pés.
Quanto tempo leva para o objeto retornar a sua posição inicial?

Passo 1

O enunciado diz que um objeto parte de uma altura inicial de 64 pés e tem velocidade dada por v(t)= -32t + 96 em pés por segundo (estamos considerando a aceleração da gravidade para baixo como -32 ft/s²). O objetivo é descobrir quando ele volta à altura inicial de 64 pés. Vamos usar integração de velocidades para obter a função posição e depois resolver a equação s(t)=64.

Passo 2

Para achar a função da posição s(t), integramos a velocidade:
s(t)= integral v(t),dt =integral(-32t+96),dt =-16t^2+96t+C
Agora determinamos a constante C usando a condição inicial s(0)=64. Substituindo t=0:
s(0)=-16cdot0^2+96cdot0+C=C=64
Portanto a posição é s(t)=-16t^2+96t+64. Para encontrar quando ela retorna à altura inicial, igualamos s(t)=64 e resolvemos:
-16t^2+96t+64=64
Simplificando a equação:
-16t^2+96t=0 Longrightarrow -16t(t-6)=0
As soluções são t=0 (instante inicial) e t=6. Desprezamos t=0 e ficamos com t=6 segundos.

Resposta

6 segundos

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