Se um objeto é lançado verticalmente para cima, com velocidade inicial
, sua altura
, acima do chão (
), após
segundos, é dada (aproximadamente) por
metros. Quais são as velocidades do objeto nos instantes
? Em que instante o objeto atinge sua altura máxima? (Leve em conta que o gráfico de
como função de
é uma parábola.) Em que instante atinge o chão? Com que velocidade atinge o chão?
Passo 1
Vamos resolver um exercício de movimento vertical. O problema envolve calcular as velocidades do objeto nos instantes de 3 e 4 segundos, determinar quando ele atinge a altura máxima, quando retorna ao chão e a velocidade com que atinge o solo. Para isso, vamos utilizar conceitos de cinemática, especificamente as funções de posição e velocidade no movimento vertical.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a função que descreve a altura do objeto em relação ao tempo:
Esta é uma função quadrática onde $ h(t) $ representa a altura em metros e $ t $ o tempo em segundos. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.
Passo 3
Vamos encontrar a função velocidade $ v(t) $. Para isso, derivamos $ h(t) $ em relação a $ t $:
Então, a função velocidade é:
Passo 4
Agora, vamos calcular as velocidades nos instantes $ t = 3,s $ e $ t = 4,s $.
Para $ t = 3,s $:
Para $ t = 4,s $:
Passo 5
Para encontrar o instante em que o objeto atinge a altura máxima, sabemos que isso ocorre quando a velocidade é zero.
Resolvendo para $ t $:
Então, a altura máxima é alcançada aos 11 segundos.
Passo 6
Para determinar quando o objeto atinge o chão, precisamos encontrar o tempo $ t $ em que $ h(t) = 0 $:
Fatorando a equação:
As soluções são $ t = 0,s $ (o lançamento) e:
Portanto, o objeto atinge o chão após 22 segundos.
Passo 7
Finalmente, para encontrar a velocidade com que o objeto atinge o chão, usamos a função $ v(t) $ no tempo $ t = 22,s $:
O sinal negativo indica que a velocidade está direcionada para baixo.
Resposta
As velocidades do objeto são 80 m/s aos 3 segundos e 70 m/s aos 4 segundos. A altura máxima é atingida em 11 segundos. O objeto atinge o chão após 22 segundos, chegando com uma velocidade de -110 m/s.