Se um objeto é lançado verticalmente para cima, com velocidade inicial 110 m / s, sua altura h(t), acima do chão ( h=0 ), após t segundos, é dada (aproximadamente) por h(t)=110 t-5 t^2 metros. Quais são as velocidades do objeto nos instantes t=3 set=4 s ? Em que instante o objeto atinge sua altura máxima? (Leve em conta que o gráfico de h(t) como função de t é uma parábola.) Em que instante atinge o chão? Com que velocidade atinge o chão?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de movimento vertical. O problema envolve calcular as velocidades do objeto nos instantes de 3 e 4 segundos, determinar quando ele atinge a altura máxima, quando retorna ao chão e a velocidade com que atinge o solo. Para isso, vamos utilizar conceitos de cinemática, especificamente as funções de posição e velocidade no movimento vertical.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a função que descreve a altura do objeto em relação ao tempo:
h(t) = 110,t - 5,t^2
Esta é uma função quadrática onde $ h(t) $ representa a altura em metros e $ t $ o tempo em segundos. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.

Passo 3

Vamos encontrar a função velocidade $ v(t) $. Para isso, derivamos $ h(t) $ em relação a $ t $:
v(t)
Então, a função velocidade é:
h(t)

Passo 4

Agora, vamos calcular as velocidades nos instantes $ t = 3,s $ e $ t = 4,s $.
Para $ t = 3,s $:
t = 3,s
Para $ t = 4,s $:
t = 4,s

Passo 5

Para encontrar o instante em que o objeto atinge a altura máxima, sabemos que isso ocorre quando a velocidade é zero.
v(t) = 0 Rightarrow 110 - 10,t = 0
Resolvendo para $ t $:
t
10,t = 110
Então, a altura máxima é alcançada aos 11 segundos.

Passo 6

Para determinar quando o objeto atinge o chão, precisamos encontrar o tempo $ t $ em que $ h(t) = 0 $:
t
Fatorando a equação:
h(t) = 0
As soluções são $ t = 0,s $ (o lançamento) e:
110,t - 5,t^2 = 0
t(110 - 5,t) = 0
t = 0,s
Portanto, o objeto atinge o chão após 22 segundos.

Passo 7

Finalmente, para encontrar a velocidade com que o objeto atinge o chão, usamos a função $ v(t) $ no tempo $ t = 22,s $:
v(t)
O sinal negativo indica que a velocidade está direcionada para baixo.

Resposta

As velocidades do objeto são 80 m/s aos 3 segundos e 70 m/s aos 4 segundos. A altura máxima é atingida em 11 segundos. O objeto atinge o chão após 22 segundos, chegando com uma velocidade de -110 m/s.

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