A posição de um ponto
sobre um eixo
, é dada por
, com
medido em segundos e
em centímetros.
(a) Determine as velocidades médias de P nos seguintes intervalos de tempo:
.
(b) Determine a velocidade de
no instante
.
© Determine os intervalos de tempo em que
se move no sentido positivo e aqueles em que
se move no sentido negativo (movimento retrógrado). ( P se move no sentido positivo ou negativo se
aumenta ou diminui, respectivamente, à medida em que
aumenta.) Para resolver este problema, leve em conta que o gráfico de
, em função de t , é uma parábola.
© Determine os intervalos de tempo em que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que você precisa resolver aqui. Temos a posição de um ponto $ P $ ao longo do eixo $ x $ dada pela função $ x(t) = 4t^{2} + 3t - 2 $, onde $ t $ está em segundos e $ x(t) $ em centímetros. O exercício está dividido em três partes:
a) Calcular as velocidades médias de $ P $ em diferentes intervalos de tempo.
b) Encontrar a velocidade instantânea de $ P $ no instante $ t = 1 $ segundo.
c) Determinar em quais intervalos de tempo $ P $ está se movendo para a frente (sentido positivo) ou para trás (sentido negativo).
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos básicos de cálculo, como velocidade média e derivada para a velocidade instantânea, além de analisar o comportamento da função quadrática que descreve a posição.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a), que pede para calcular as velocidades médias em vários intervalos de tempo. A velocidade média é basicamente a variação da posição dividida pela variação do tempo.
A fórmula para a velocidade média ($ v_{m} $) entre dois instantes $ t_1 $ e $ t_2 $ é:
Vamos calcular isso para cada intervalo dado.
Passo 3
Primeiro, calculamos $ x(t) $ nos instantes necessários usando a função $ x(t) = 4t^{2} + 3t - 2 $.
Para o intervalo
:
Então,
Passo 4
Agora, para o intervalo
:
Então,
Passo 5
Para o intervalo
:
Então,
Passo 6
Finalmente, para o intervalo
:
Então,
Passo 7
Agora, na parte (b), precisamos encontrar a velocidade instantânea de $ P $ no instante $ t = 1 $ segundo. A velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo.
Dada $ x(t) = 4t^{2} + 3t - 2 $, a derivada $ v(t) = \frac{dx}{dt} $ é:
Então, substituindo $ t = 1 $:
Passo 8
Por fim, na parte ©, vamos determinar quando $ P $ está se movendo para a frente (sentido positivo) ou para trás (sentido negativo). Isso depende do sinal da velocidade.
Sabemos que $ v(t) = 8t + 3 $. Se $ v(t) > 0 $, então $ P $ está se movendo para frente; se $ v(t) < 0 $, está se movendo para trás.
Vamos resolver $ v(t) = 0 $ para encontrar a mudança de direção:
Como $ t $ representa tempo e não pode ser negativo no contexto deste problema, isso significa que para todos os $ t \geq 0 $, $ v(t) > 0 $. Portanto, $ P $ está sempre se movendo para frente no intervalo considerado.
Resposta
(a) Velocidades médias:
-
: 11,8 cm/s -
: 11,4 cm/s -
: 11,04 cm/s -
: 11,004 cm/s
(b) Velocidade de $ P $ no instante $ t = 1 $ segundo: 11 cm/s
© $ P $ se move sempre no sentido positivo para $ t \geq 0 $.