A posição de um ponto P sobre um eixo x, é dada por x(t)=4 t^2+3 t-2, com t medido em segundos e x(t) em centímetros.
(a) Determine as velocidades médias de P nos seguintes intervalos de tempo: 1 ; 1,2],[1 ; 1,1],[1 ; 1,01],[1 ; 1,001.
(b) Determine a velocidade de P no instante t=1 seg.
© Determine os intervalos de tempo em que P se move no sentido positivo e aqueles em que P se move no sentido negativo (movimento retrógrado). ( P se move no sentido positivo ou negativo se x(t) aumenta ou diminui, respectivamente, à medida em que t aumenta.) Para resolver este problema, leve em conta que o gráfico de x(t), em função de t , é uma parábola.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que você precisa resolver aqui. Temos a posição de um ponto $ P $ ao longo do eixo $ x $ dada pela função $ x(t) = 4t^{2} + 3t - 2 $, onde $ t $ está em segundos e $ x(t) $ em centímetros. O exercício está dividido em três partes:
a) Calcular as velocidades médias de $ P $ em diferentes intervalos de tempo.
b) Encontrar a velocidade instantânea de $ P $ no instante $ t = 1 $ segundo.
c) Determinar em quais intervalos de tempo $ P $ está se movendo para a frente (sentido positivo) ou para trás (sentido negativo).
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos básicos de cálculo, como velocidade média e derivada para a velocidade instantânea, além de analisar o comportamento da função quadrática que descreve a posição.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a), que pede para calcular as velocidades médias em vários intervalos de tempo. A velocidade média é basicamente a variação da posição dividida pela variação do tempo.
A fórmula para a velocidade média ($ v_{m} $) entre dois instantes $ t_1 $ e $ t_2 $ é:
vm
Vamos calcular isso para cada intervalo dado.

Passo 3

Primeiro, calculamos $ x(t) $ nos instantes necessários usando a função $ x(t) = 4t^{2} + 3t - 2 $.
Para o intervalo x(t) :
x(t) = 4t^2 + 3t - 2
[1 ; 1,2]
Então,
x(1) = 4(1)^2 + 3(1) - 2 = 4 + 3 - 2 = 5 cm

Passo 4

Agora, para o intervalo [1 ; 1,1]:
x(1) = 5 cm (já calculado) á
x(1,1) = 4(1,1)^2 + 3(1,1) - 2 = 4(1,21) + 3,3 - 2 = 4,84 + 3,3 - 2 = 6,14 cm
Então,
vm = 6,14 - 51,1 - 1 = 1,140,1 = 11,4 cm/s

Passo 5

Para o intervalo [1 ; 1,01]:
x(1,01) = 4(1,01)^2 + 3(1,01) - 2 = 4(1,0201) + 3,03 - 2 = 4,0804 + 3,03 - 2 = 5,1104 cm
Então,
vm = 5,1104 - 51,01 - 1 = 0,11040,01 = 11,04 cm/s

Passo 6

Finalmente, para o intervalo [1 ; 1,001]:
x(1,001) = 4(1,001)^2 + 3(1,001) - 2 = 4(1,002001) + 3,003 - 2 = 4,008004 + 3,003 - 2 = 5,011004 cm
Então,
vm = 5,011004 - 51,001 - 1 = 0,0110040,001 = 11,004 cm/s

Passo 7

Agora, na parte (b), precisamos encontrar a velocidade instantânea de $ P $ no instante $ t = 1 $ segundo. A velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo.
Dada $ x(t) = 4t^{2} + 3t - 2 $, a derivada $ v(t) = \frac{dx}{dt} $ é:
P
Então, substituindo $ t = 1 $:
t = 1

Passo 8

Por fim, na parte ©, vamos determinar quando $ P $ está se movendo para a frente (sentido positivo) ou para trás (sentido negativo). Isso depende do sinal da velocidade.
Sabemos que $ v(t) = 8t + 3 $. Se $ v(t) > 0 $, então $ P $ está se movendo para frente; se $ v(t) < 0 $, está se movendo para trás.
Vamos resolver $ v(t) = 0 $ para encontrar a mudança de direção:
P
Como $ t $ representa tempo e não pode ser negativo no contexto deste problema, isso significa que para todos os $ t \geq 0 $, $ v(t) > 0 $. Portanto, $ P $ está sempre se movendo para frente no intervalo considerado.

Resposta

(a) Velocidades médias:
  • [1 ; 1,2]: 11,8 cm/s
  • [1 ; 1,1]: 11,4 cm/s
  • [1 ; 1,01]: 11,04 cm/s
  • [1 ; 1,001]: 11,004 cm/s
(b) Velocidade de $ P $ no instante $ t = 1 $ segundo: 11 cm/s
© $ P $ se move sempre no sentido positivo para $ t \geq 0 $.

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