Calcule o máximo e o mínimo absolutos (se existente) da função dada no intervalo especificado:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer encontrar o máximo e o mínimo absolutos da função $ f(x) = -3x^{4} + 8x^{3} - 10 $ no intervalo de $ 0 \leq x \leq 3 $. Para resolver isso, vamos usar o cálculo diferencial, especificamente encontrando as derivadas da função para identificar seus pontos críticos, que são candidatos a máximos e mínimos. Também vamos avaliar os extremos nos limites do intervalo.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) $, que nos ajudará a identificar os pontos onde a inclinação da curva é zero (pontos críticos). A derivada de $ f(x) $ é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo $ f’(x) = 0 $:
Podemos fatorar essa equação:
Isso nos dá duas soluções:
- $ x = 0 $
- $ x = 2 $
Passo 4
Com os pontos críticos encontrados ($ x = 0 $ e $ x = 2 $), precisamos verificar se eles estão dentro do intervalo $ [0, 3] $. Ambos os pontos estão dentro do intervalo, então vamos avaliar a função $ f(x) $ nesses pontos e também nos limites do intervalo $ x = 0 $ e $ x = 3 $.
Passo 5
Vamos calcular $ f(x) $ nos pontos críticos e nos limites:
- No ponto crítico $ x = 0 $:
- No ponto crítico $ x = 2 $:
- No limite $ x = 3 $:
Passo 6
Agora, vamos comparar os valores obtidos:
- $ f(0) = -10 $
- $ f(2) = 6 $
- $ f(3) = -37 $
O maior valor é $ 6 $ no ponto $ x = 2 $, e o menor valor é $ -37 $ no ponto $ x = 3 $.
Resposta
O máximo absoluto da função $ f(x) = -3x^{4} + 8x^{3} - 10 $ no intervalo $ 0 \leq x \leq 3 $ é $ 6 $ em $ x = 2 $, e o mínimo absoluto é $ -37 $ em $ x = 3 $.