Calcule o máximo e o mínimo absolutos (se existente) da função dada no intervalo especificado:
f(x)=-3 x^4+8 x^3-10,0 <= x <= 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar o máximo e o mínimo absolutos da função $ f(x) = -3x^{4} + 8x^{3} - 10 $ no intervalo de $ 0 \leq x \leq 3 $. Para resolver isso, vamos usar o cálculo diferencial, especificamente encontrando as derivadas da função para identificar seus pontos críticos, que são candidatos a máximos e mínimos. Também vamos avaliar os extremos nos limites do intervalo.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) $, que nos ajudará a identificar os pontos onde a inclinação da curva é zero (pontos críticos). A derivada de $ f(x) $ é:
f(x)

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo $ f’(x) = 0 $:
f'(x) = 0
Podemos fatorar essa equação:
-12x^3 + 24x^2 = 0
Isso nos dá duas soluções:
  1. $ x = 0 $
  2. $ x = 2 $

Passo 4

Com os pontos críticos encontrados ($ x = 0 $ e $ x = 2 $), precisamos verificar se eles estão dentro do intervalo $ [0, 3] $. Ambos os pontos estão dentro do intervalo, então vamos avaliar a função $ f(x) $ nesses pontos e também nos limites do intervalo $ x = 0 $ e $ x = 3 $.

Passo 5

Vamos calcular $ f(x) $ nos pontos críticos e nos limites:
  1. No ponto crítico $ x = 0 $:
f(x)
  1. No ponto crítico $ x = 2 $:
x = 0
  1. No limite $ x = 3 $:
f(0) = -3(0)^4 + 8(0)^3 - 10 = -10

Passo 6

Agora, vamos comparar os valores obtidos:
  • $ f(0) = -10 $
  • $ f(2) = 6 $
  • $ f(3) = -37 $
O maior valor é $ 6 $ no ponto $ x = 2 $, e o menor valor é $ -37 $ no ponto $ x = 3 $.

Resposta

O máximo absoluto da função $ f(x) = -3x^{4} + 8x^{3} - 10 $ no intervalo $ 0 \leq x \leq 3 $ é $ 6 $ em $ x = 2 $, e o mínimo absoluto é $ -37 $ em $ x = 3 $.

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