Um paraquedista cuja massa é de 100 kg cai de um helicóptero parado a 300 m acima do solo e desce sob a influência da gravidade. Suponha que a força devido à resistência do ar seja proporcional à velocidade do paraquedista, com a constante de proporcionalidade
quando o paraquedas está fechado e
quando o paraquedas está aberto. Se o paraquedas não se abrir até 30 s após o paraquedista pular do helicóptero, depois de quantos segundos ele alcançará o solo? Se o paraquedas não se abrir até 1 minuto após ele sair do helicóptero, depois de quantos segundos ele alcançará o solo?
Passo 1
Enunciado resumido e dados importantes.\n
- Massa do paraquedista:
.\n - Altura inicial acima do solo:
.\n - Constante de resistência do ar com paraquedas fechado:
.\n - Constante de resistência do ar com paraquedas aberto:
.\n - A gravidade vale
(valor padrão que usaremos).\n - Situação 1: o paraquedas não se abre até
(interpreto como que ele só abriria aos ).\n - Situação 2: o paraquedas não se abre até
(ou seja, abertura aos ).\n
Pergunta que precisamos responder em cada caso: depois de quantos segundos (a partir do salto) o paraquedista alcançará o solo?
Passo 2
Modelo físico e equação do movimento (explicação didática).\n
- Escolho como positivo o sentido para baixo (isso simplifica os sinais: a gravidade puxa para baixo com força
).\n - A força de resistência do ar é proporcional à velocidade e age para cima (oposta ao movimento), de módulo
.\n - Pela 2ª lei de Newton: massa vezes aceleração
forças resultantes. Portanto, com sinal para baixo positivo,
Aqui
é a velocidade para baixo,
é a massa,
a aceleração da gravidade e
a constante de resistência do ar (onde
será
ou
dependendo da fase).\n
- Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem em
. Vou resolvê-la explicitamente para obter e, depois, integrar para obter o deslocamento (distância percorrida para baixo desde o salto). O paraquedista atinge o solo quando .
Passo 3
Resolvendo a ODE para a velocidade (aula rápida sobre o método).\n
A equação
A equação
pode ser escrita como
Isto é uma ODE linear com coeficiente
. A solução geral (usando fator integrante ou método padrão) é
Explicando cada termo:\n
-
tem unidade e é a constante de decaimento exponencial; chamo-a de .\n -
é a velocidade terminal (velocidade de equilíbrio) que o paraquedista alcança se cair muito tempo com aquela constante de arrasto; denoto por .\n
Então, de forma compacta,
Passo 4
Obter o deslocamento
integrando a velocidade (passo a passo).\n
O deslocamento para baixo a partir de é
O deslocamento para baixo a partir de
Fazendo a integral:
Substituindo
e
podemos escrever também
Esse
dá a distância percorrida para baixo até o tempo
. O paraquedista atinge o solo quando
.
Passo 5
Aplicando os valores numéricos para a fase com paraquedas fechado (
). Cálculos detalhados.\n
- Com
e temos
- O deslocamento até tempo
(com paraquedas fechado) é
pois
.\n
Agora verifico se o paraquedista já teria atingido o solo antes de : calculo
.\n
Agora verifico se o paraquedista já teria atingido o solo antes de
- Primeiro
.\n - Logo
Esse valor é muito maior que
. Conclusão: o paraquedista atingiria o solo antes de
; portanto o paraquedas não terá tempo de ser aberto aos
porque já houve impacto.
Passo 6
Calcular explicitamente o instante de impacto quando o paraquedas NÃO chega a abrir (resolvendo
).\n
Precisamos resolver a equação transcendental
Precisamos resolver a equação transcendental
Reescrevendo:
Não há solução analítica fechada; usamos um método numérico simples (tentar valores e interpolar) — aqui faço o procedimento passo a passo (bisseção/interpolação) para achar
com boa precisão:\n
- Avalio
.\n -
(negativo).\n -
(positivo).\n
Então a raiz está entree . Faço refinamentos:\n -
: .\n -
: .\n
A raiz está entree . Interpolando linearmente entre esses pontos obtemos aproximadamente .\n
Verificando com substituição direta dá erro residual muito pequeno (da ordem des na iteração feita), então tomo
Passo 7
Situação com paraquedas aberto apenas após
(verificação rápida).\n
- Já calculamos que com paraquedas fechado,
, muito maior que . Portanto, o impacto ocorre antes de também.\n - Logo o instante de impacto é o mesmo que já encontramos, porque a segunda fase (abertura do paraquedas) jamais chega a acontecer antes do impacto nos dois cenários propostos.\n
- Conclusão: tanto no cenário "abre aos
" quanto no cenário "abre aos ", o impacto acontece antes da abertura e o tempo até o solo é o que calculamos acima.
Resposta
Se o paraquedas só abrisse aos
:
.\n
Se o paraquedas só abrisse aos (
):
.
Se o paraquedas só abrisse aos