Um objeto com massa de 8 kg recebe uma velocidade inicial para cima de 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e depois é deixado cair sob a influência da gravidade. Suponha que a força em newtons devido à resistência do ar seja -b v, onde v é a velocidade do objeto \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s}. Determine a equação do movimento do objeto. Se o objeto estiver inicialmente 100 m acima do solo, determine quando o objeto atingirá o solo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Massa do objeto: m=8\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade inicial: \;v(0)=20\\ \mathrm{m/s} dirigida para cima.
  • Altura inicial: \;y(0)=100\\ \mathrm{m} (acima do solo).
  • Força de resistência do ar: \;-b\,v, com b>0 constante e v(t) sendo a velocidade (sinal positivo para cima).
  • Gravidade: aceleração de queda \;g (vou preservar o símbolo g; se quiseres usar valor numérico comum usa-se \;g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}).
Perguntas que o enunciado faz:
  1. Determinar a equação do movimento do objeto — isto inclui a velocidade \;v(t) e a posição \;y(t) como funções do tempo.
  2. Se o objeto está inicialmente a 100\\ \mathrm{m}, determinar quando o objeto atinge o solo — isto é, achar o tempo t>0 tal que \;y(t)=0.
Informações relevantes resumidas:
  • Forças: peso = -m g (para baixo), resistência = -b v (oposta à velocidade).
  • Escolhi convenção: eixo vertical com sentido positivo para cima; portanto a posição inicial é \;y(0)=100 e a velocidade inicial \;v(0)=20 (positiva).

Passo 2

Montar a equação dinâmica usando a Segunda Lei de Newton.
  • A Segunda Lei diz \;m\frac{dv}{dt}=\sum F. As forças na direção vertical são o peso e a resistência do ar, então
m\frac{dv}{dt} = -m g - b v.
  • Dividindo por m obtemos uma equação diferencial linear de primeira ordem para \;v(t):
\frac{dv}{dt} + \frac{b}{m}\,v = -g.
Aqui \;v(t) é a velocidade com sinal (positiva para cima). Esta é a equação que vamos resolver para achar \;v(t).

Passo 3

Resolver a equação diferencial para \;v(t) (método do fator integrante). Vou resolver passo a passo, bem mastigado.
  • Escrevemos a equação como
\frac{dv}{dt} + k v = -g,
onde definimos k=\dfrac{b}{m} para simplificar símbolos. Com \;m=8 a relação é k=\dfrac{b}{8}, mas vou primeiro resolver com k.
  • O fator integrante é \;e^{\int k\,dt}=e^{k t}.
  • Multiplicando a equação por e^{k t}:
e^{k t}\frac{dv}{dt} + k e^{k t} v = -g e^{k t}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada de e^{k t} v. Logo
\frac{d}{dt}\big( e^{k t} v \big) = -g e^{k t}.
  • Integramos em t de 0 a t:
e^{k t} v(t) - e^{0} v(0) = -g \int_0^t e^{k s}\,ds.
Calcular a integral \int_0^t e^{k s}\,ds = \frac{1}{k}\big(e^{k t}-1\big) (porque k\neq0 quando b\neq0).
  • Substituindo:
e^{k t} v(t) - v(0) = -g \cdot \frac{1}{k}\big(e^{k t}-1\big).
  • Isolando v(t):
e^{k t} v(t) = v(0) - \frac{g}{k}\big(e^{k t}-1\big)
v(t) = e^{-k t}\,v(0) - \frac{g}{k}\big(1 - e^{-k t}\big).
  • Reescrevendo agrupando termo particular (estado estacionário) e o decaimento exponencial:
v(t) = -\frac{g}{k} + \Big(v(0)+\frac{g}{k}\Big)e^{-k t}.
  • Agora substituímos k=\dfrac{b}{m} e m=8 e v(0)=20. Lembrando \dfrac{g}{k} = \dfrac{g}{b/m} = \dfrac{m g}{b}. Assim:
v(t) = -\frac{8 g}{b} + \Big(20 + \frac{8 g}{b}\Big)\exp\!\Big(-\frac{b}{8}t\Big).
Este é o comportamento da velocidade: começa em 20\\ \mathrm{m/s}, o termo exponencial decai e v(t) tende para o valor de equilíbrio -\dfrac{8g}{b} (velocidade terminal negativa — para baixo).

Passo 4

Obter a posição \;y(t) integrando \;v(t). Lembrete: y(0)=100.
  • Temos \;y(t)=y(0)+\int_0^t v(s)\,ds. Substituindo a forma de v(s):
y(t) = 100 + \int_0^t \left[-\frac{8 g}{b} + \Big(20 + \frac{8 g}{b}\Big)e^{-(b/8)s}\right] ds.
  • Integramos termo a termo.
    1. Integral do termo constante -\dfrac{8 g}{b} é -\dfrac{8 g}{b} t.
    2. Integral do exponencial: \displaystyle \int_0^t e^{-(b/8)s}\,ds = \frac{8}{b}\big(1 - e^{-(b/8)t}\big).
  • Portanto
y(t) = 100 - \frac{8 g}{b}\,t + \Big(20 + \frac{8 g}{b}\Big)\cdot\frac{8}{b}\big(1 - e^{-(b/8)t}\big).
  • Podemos deixar assim ou escrever de forma levemente reorganizada. Uma forma compacta é introduzir k=\dfrac{b}{8} e notar \dfrac{8}{b}=\dfrac{1}{k}, o que dá (com v_0=20):
y(t) = 100 - \frac{g}{k}\,t + \frac{1}{k}\Big(20 + \frac{g}{k}\Big)\big(1 - e^{-k t}\big).
Mas, como o problema deu m=8, vou manter a forma com b e 8:
y(t) = 100 - \frac{8 g}{b}\,t + \frac{8}{b}\Big(20 + \frac{8 g}{b}\Big)\big(1 - e^{-(b/8)t}\big).
Isto é a equação da posição do objeto no tempo.

Passo 5

Determinar quando o objeto atinge o solo: resolver \;y(t)=0 para t>0.
  • Usando a expressão de y(t) encontrada, o tempo t satisfaz a equação transcendental
0 = 100 - \frac{8 g}{b}\,t + \frac{8}{b}\Big(20 + \frac{8 g}{b}\Big)\big(1 - e^{-(b/8)t}\big).
  • Podemos rearranjar para uma forma mais intuitiva colocando todos os termos com t num lado:
\Big(20 + \frac{8 g}{b}\Big)\big(1 - e^{-(b/8)t}\big) + \frac{b}{8}\cdot 100 = g t.
(Aqui multipliquei ambos os lados por \dfrac{b}{8} para limpar frações.)
  • Observação importante: esta equação é transcendental por causa do termo e^{-(b/8)t}. Logo, para um valor específico de b e adotando um valor numérico para g (ex.: 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}), o tempo t deve ser encontrado numericamente (por exemplo pelo método de Newton, biseção, ou usando uma calculadora/software).
  • Caso especial: se b=0 (sem resistência do ar), a equação degeneraria e devemos resolver o caso limite. Tomando b\to0 recupera-se o movimento com aceleração constante:
v(t)=20 - g t,\qquad y(t)=100 + 20 t - \tfrac{1}{2} g t^2,
e resolver y(t)=0 dá a fórmula quadrática usual:
t=\frac{20 + \sqrt{20^2 + 2 g\cdot 100}}{g}\quad\text{(a raiz positiva)}.
Isto serve como verificação de consistência quando b é muito pequeno.
  • Em resumo: para b>0 a expressão para o instante de impacto é a solução positiva da equação acima; para b=0 há solução explícita pela fórmula quadrática.

Resposta

v(t) = -\dfrac{8 g}{b} + \Big(20 + \dfrac{8 g}{b}\Big)\exp\!\Big(-\dfrac{b}{8}t\Big)\newline
O tempo t>0 em que o objeto atinge o solo é a solução positiva da equação
0 = 100 - \frac{8 g}{b}\,t + \frac{8}{b}\Big(20 + \frac{8 g}{b}\Big)\big(1 - e^{-(b/8)t}\big).

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