Um objeto com massa de 8 kg recebe uma velocidade inicial para cima de
e depois é deixado cair sob a influência da gravidade. Suponha que a força em newtons devido à resistência do ar seja
, onde
é a velocidade do objeto
. Determine a equação do movimento do objeto. Se o objeto estiver inicialmente 100 m acima do solo, determine quando o objeto atingirá o solo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
- Massa do objeto:
. - Velocidade inicial:
dirigida para cima. - Altura inicial:
(acima do solo). - Força de resistência do ar:
, com constante e sendo a velocidade (sinal positivo para cima). - Gravidade: aceleração de queda
(vou preservar o símbolo ; se quiseres usar valor numérico comum usa-se ).
Perguntas que o enunciado faz:
- Determinar a equação do movimento do objeto — isto inclui a velocidade
e a posição como funções do tempo. - Se o objeto está inicialmente a
, determinar quando o objeto atinge o solo — isto é, achar o tempo tal que .
Informações relevantes resumidas:
- Forças: peso
(para baixo), resistência (oposta à velocidade). - Escolhi convenção: eixo vertical com sentido positivo para cima; portanto a posição inicial é
e a velocidade inicial (positiva).
Passo 2
Montar a equação dinâmica usando a Segunda Lei de Newton.
- A Segunda Lei diz
. As forças na direção vertical são o peso e a resistência do ar, então
- Dividindo por
obtemos uma equação diferencial linear de primeira ordem para :
Aqui
é a velocidade com sinal (positiva para cima). Esta é a equação que vamos resolver para achar
.
Passo 3
Resolver a equação diferencial para
(método do fator integrante). Vou resolver passo a passo, bem mastigado.
- Escrevemos a equação como
onde definimos
para simplificar símbolos. Com
a relação é
, mas vou primeiro resolver com
.
-
O fator integrante é
. -
Multiplicando a equação por
:
O lado esquerdo é exatamente a derivada de
. Logo
- Integramos em
de a :
Calcular a integral
(porque
quando
).
- Substituindo:
- Isolando
:
- Reescrevendo agrupando termo particular (estado estacionário) e o decaimento exponencial:
- Agora substituímos
e e . Lembrando . Assim:
Este é o comportamento da velocidade: começa em
, o termo exponencial decai e
tende para o valor de equilíbrio
(velocidade terminal negativa — para baixo).
Passo 4
Obter a posição
integrando
. Lembrete:
.
- Temos
. Substituindo a forma de :
-
Integramos termo a termo.
- Integral do termo constante
é . - Integral do exponencial:
.
- Integral do termo constante
-
Portanto
- Podemos deixar assim ou escrever de forma levemente reorganizada. Uma forma compacta é introduzir
e notar , o que dá (com ):
Mas, como o problema deu
, vou manter a forma com
e
:
Isto é a equação da posição do objeto no tempo.
Passo 5
Determinar quando o objeto atinge o solo: resolver
para
.
- Usando a expressão de
encontrada, o tempo satisfaz a equação transcendental
- Podemos rearranjar para uma forma mais intuitiva colocando todos os termos com
num lado:
(Aqui multipliquei ambos os lados por
para limpar frações.)
-
Observação importante: esta equação é transcendental por causa do termo
. Logo, para um valor específico de e adotando um valor numérico para (ex.: ), o tempo deve ser encontrado numericamente (por exemplo pelo método de Newton, biseção, ou usando uma calculadora/software). -
Caso especial: se
(sem resistência do ar), a equação degeneraria e devemos resolver o caso limite. Tomando recupera-se o movimento com aceleração constante:
e resolver
dá a fórmula quadrática usual:
Isto serve como verificação de consistência quando
é muito pequeno.
- Em resumo: para
a expressão para o instante de impacto é a solução positiva da equação acima; para há solução explícita pela fórmula quadrática.
Resposta
O tempo